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Aufgabe:

Vektoren: Lineare Unabhängigkeit und Basen prüfen

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Meine Frage bezieht sich auf b) und f)

(b) \( A_{2}=\{(1,2,3),(3,0,1)\} \)
(f) \( A_{6}=\{(2,-1,0),(1,0,5),(2,2,2),(-5,0,1)\} \).

-1) Welche der folgende Menge von Vektoren sind linear unabhängig? Beweisen und begründen Sie Ihre Behauptungen.

-2) Wir betrachten die Mengen von Vektoren A1, . . . ,A6. Jede dieser Mengen Ai erzeugt einen Vektorraum Mi (i = 1-6). Welche der Mengen Ai bilden eine Basis von Mi? Falls Ai keine Basis von Mi bildet, kann man eine Teilmenge Bi von Ai finden, sodass Bi eine Basis von Mi ist?

Problem/Ansatz:

b)

1)

\( A_{2}=(1,2,3),(3,0,1) \)
\( \alpha\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( I: \alpha+3 \beta=0 \)
\( I I: 2 \alpha=0 \)
\( =>\alpha=0 \)
\( I I I: 3 \alpha+\beta=0 \)
\( =>\beta=0 \)

dh die Vektoren sind linear unabhängig

2) Da beide lin. unabhängig sind, ist keiner eine Linearkombination des des anderen Vektors. Meine Frage hier ist, benötige ich jetzt noch einen 3. Vektor um diese Basis zu bilden, oder kann ich das auch mit 2 Vektoren?


f)

1)

\( A_{6}=(2,1,0),(1,0,5),(2,2,2),(5,0,1) \)
\( \alpha\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+\delta\left(\begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)
\( I: 2 \alpha+\beta+2 \gamma+2 \delta=0 \)
\( =>2 \alpha+\beta+\alpha+\delta=0,-3 \alpha-\delta=\beta \)
\( I I:-\alpha+2 \gamma=0 \)
\( =>2 \gamma=\alpha \)
\( I I I: \beta+2 \gamma+\delta=0 \)
\( =>-3 \alpha-\delta+\alpha+\delta=0,-2 \alpha=0 \)

Die Vektoren sind meiner Meinung nach linear unabhängig.

2) Wenn die Vektoren lin. unabhängig sind, habe ich trotzdem für meine Basis einen Vektor zu viel, kann das sein?

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Aloha :)

Bei (b) sind die Vektoren tatsächlich linear unabängig und bilden daher eine Basis für einen 2-dimensionalen Unterraum im \(\mathbb R^3\). Den kannst du dir als eine Ebene durch den Urpsrung vorstellen, wobei die beiden Richtungsvektoren der Ebene die Basisvektoren von \(A_2\) sind.

Bei (f) ist das nicht direkt zu sehen, deswegen rechnen wir eventuelle lineare Abhängigkeiten aus den 4 Vektoren heraus, indem wir sie als Spalten in eine Matrix schreiben und diese Matrix dann mit elementaren Spaltenumformungen auf Dreieckform bringen:

$$\begin{array}{rrrr}-2S_2 & & -2S_2 & +5S_2\\\hline2 & 1 & 2 & -5\\-1 & 0 & 2 & 0\\0 & 5 & 2 & 1\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrrr} \cdot(-1)& & :2 & :26\\\hline0 & 1 & 0 & 0\\-1 & 0 & 2 & 0\\-10 & 5 & -8 & 26\end{array}\;\to\;$$$$\begin{array}{rrrr} -10S_4& -5S_4 & +4S_4 & \\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\10 & 5 & -4 & 1\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrrr} -S_3&  &  & \\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\;\to\;\begin{array}{rrrr} & \vec b_1  & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$

Die 4 Vektoren aus \(A_6\) sind also linear abhängig. Als mögliche Basis für den von \(A_6\) aufgespannten Raum haben wir die kanonische Standardbasis gefunden.

Avatar von 148 k 🚀

Super vielen Dank, dann hatte ich den Fehler bei dem Bsp f

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