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Aufgabe:

Löse das folgende integral

\(\frac{(x^{3}+x^{2}+3x+2)}{(x^{2}+1)((x+1)^{2}+1)}\)


Problem/Ansatz:

Also das Integral ist hoch komplex und ich würde gerne eine partialbruchzerlegung durchführen, aber ich verstehe nicht wie ich die brüche aufteilen soll


Edit Unknown: Klammern nach Kommentaren angepasst.

vor von

Im Nenner fehlt eine Klammer.

Und hast du die Nullstellen des Nenners schon herausgefunden?

Leider nein :(

Die hängen auch davon ab, wo die fehlende Klammer hingehört.

Abgesehen davon, hast Du kein Integral hingeschrieben, sondern einen Bruch.

Also die eine klammer aussen kann weggelassen werden. Und ja daraus soll die aufleitung jetzt gesucht werden

Hast du im Nenner schon die Klammern aufgelöst? Das wäre ein guter Anfang um die Nullstellen des Nenners zu bestimmen.

Steht im Nenner:

$$(x^2+1)(x+1)^2+1$$

Das wäre stets positiv?

Gruß MathePeter

Ist das wirklich die (ganze) Aufgabe?

Dann würde ich das Handtuch schmeißen und WolframAlpha fragen.

Gruß MathePeter

also die +1 ist noch mit eingeklammert nach der ersten klammer also

(x^2+1)((x+1)^2+1)

Ja ich hab bei Wolframalpha geschaut aber die Lösung ist absolut unzufriedenstellend. Da sind solche Fantasiewerte

Kannst Du den Ausgangspost nochmals überprüfen? Ich habe Anpassungen ganz nach den Kommentaren vorgenommen. Und Deinem Blick auf Wolfram folgend, lässt hoffen/ahnen, dass da noch was in der Aufgabenstellung falsch ist.

IMG-1116.JPG

Text erkannt:

(d) \( \int \frac{x^{3}+x^{2}+3 x+2}{\left(x^{2}+1\right)\left((x+1)^{2}+1\right)} \mathrm{d} x \)

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Führe zunächst eine Partialbruchzerlegung durch:$$\begin{aligned} &\phantom{=}\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)} \\&= \frac {Ax+B}{x^2+1} + \frac {Cx+D}{x^2+2x+2} \\&= \frac{(A+C)x^3 + (2A+B+D)x^2 + (2A+2B +C)x + (2B+D)}{N} \end{aligned}\\ \implies A=0, \quad B=1,\quad C=1, \quad D=0$$Also ist$$\frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)} = \frac{1}{x^2+1} +  \frac{x}{(x+1)^2 + 1}$$ Dann ist das Integral des ersten Summanden$$\int \frac{1}{x^2+1}\,\text dx = \arctan(x) + C$$und den zweiten Summanden teile ich nochmal in zwei Terme auf$$ \frac{x}{(x+1)^2 + 1}  = \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} - \frac 1{(x+1)^2 + 1}$$Im ersten Term steht nun ein Faktor der Ableitung des Nenners im Zähler$$ \phantom{=} \int \frac{x+1}{(x+1)^2+1} \, \text dx \\= \frac 12 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}\, \text dx \\= \frac 12 \ln\left( x^2 + 2x +2 \right) + C$$und beim zweiten Term substituiere ich \(x+1\)$$\int \frac 1{(x+1)^2+1} \, \text dx = \arctan\left( x+1\right) + C$$Und alles zusammen gefasst:$$\int \frac{x^3+x^2+3x+2}{(x^2+1)((x+1)^2+1)}\,\text dx \\ = \frac 12 \ln\left( x^2 + 2x +2 \right)+ \arctan(x) - \arctan\left( x+1\right) + C $$Gruß Werner

vor von 31 k

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