Einfache Differentialgleichung y' = -x/y

Question

Aufgabe:

Beispiel

Gegeben ist die Differentialgleichung $1 .$ Ordnung
$$y^{\prime}=-\frac{x}{y}$$
Allgemeine Lösung:
$$y=\sqrt{C-x^{2}}, \quad C \in \mathbb{R}$$

Problem/Ansatz:

Wie bekomme ich das?

Meine Normalform müsste ja folgende sein: y'(t) = f(x) * y + g(t)

Mein g(t) ist jetzt = 0

=> y'(t) = -x/y

Wie gehe ich vor?

Answer 1

Hallo,

y'=(-x)/y

dy/dx= (-x)/y

y dy = -x dx

y²/2 = -x²/2 +C | *2

y²= -x² +2C ->2C=C₁

y² =-x² +C₁

y=± √(-x² +C₁)

Ist noch eine Anfangsbedingung gegeben?

Answer 2

y'(x) = -x/y

Trennung der Variablen

dy/dx  = -x/y

y*dy = -x * dx integrieren

0,5y²  = -0,5x² + K

==>  y² = -x² + 2K oder auch = -x² + C

==>  y = √( -x² +C) = √( C-x²)