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Aufgabe:

Taylorreihen-Ansatz.
Verwenden Sie den Taylorreihen-Ansatz um die folgenden Anfangswertprobleme zu gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Dabei sind alle Koeffizienten in der Taylorreihe zu bestimmen.
Versuchen Sie falls möglich eine Formel der Lösung aus der Reihe zu erkennen.
a) y´ = y + 1 + 2x,       y(0) = −2
b) y´´ + xy´+ y = 0,      y(0) = 1,     y´(0) = 0



Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

vor von

Hi Elena,

ich habe eine Fehler gemacht bei Aufgabe (b). Ich habe den Faktor \( x \) bei der Dgl. der bei \( x y' \) vorkommt, vergessen zu berücksichtigen.

Wenn man das macht, kommt man auf eine etwas andere Rekursionsgleichung für die \(a_k\) nämlich $$ a_{k+2} =  -\frac{ a_k }{k+2} $$ Das ausformuliert und unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen ergibt

$$ a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{2^n n!} $$ und $$ a_{2k+1} = 0 $$

Wenn man die Funktion $$ f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} $$ in eine Reihe entwickelt um \( x = 0 \) bekommt man die gleiche Reihe. D.h. die Lösung der Dgl. ist $$ y(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} $$ was ma durch einsetzen auch kontrollieren kann.

Man kann das auch analytisch nachweisen, in dem man berücksichtigt das gilt $$ y'' + xy' +y = (y' + xy)' = 0 $$ Daraus folgt $$ y'+xy = C $$

Und diese Dgl. multipliziert man mit dem integrierenden Faktor \( e^{\frac{x^2}{2}} \). Danach ist die Dgl. exakt. Die Lösung ergibt sich nach den üblichen Methoden zu

$$ y(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} $$

Ich denke somit ist diese Aufgabe vollumfänglich gelöst.

Hallo,

Ist das die komplette Lösung? Also brauche ich nix anderes zu schreiben?

Nee, das geht wohl so nicht. Die Rekursion muss Du schon selber herleiten und die Reihendarstellung von \( e^{\frac{x^2}{2}} \) auch. Die Schritte sind die gleichen wie in meiner Lösung, nur wie gesagt das \( x \) in der Dgl. berücksichtigen.

Die Verifikation, das \( e^{\frac{x^2}{2}} \) wirklich eine Lösung ist kann man machen und ist auch nicht schwer.

Ich habe irgendwie das nicht so gut verstanden.

Könntest du mir bitte die Schritte der Lösung zeigen? also einfach kopieren und einfügen was wir schon geschrieben haben

Vielen vielen Dank im Voraus!..

Ich habe das schon gemacht danke! :)

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich zeige mal (a), die andere geht genauso.

Sei $$ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$ dann gilt $$ y'(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k $$

Einsetzen in die Dgl. liefert

$$ (1) \quad \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(k+1)x^k =\sum_{k=0}^\infty a_k x^k + 1 +2x $$

Aus \( y(0) = -2 \) folgt sofort \( a_0 = -2 \)

Aus (1) folgt durch vergleich der Potenzen von \( x \)

$$ (2) \quad a_1 = a_0 +1 = -1 $$

$$ (3) \quad a_2 = \frac{1}{2!} $$

$$ a_3 = \frac{1}{3!} $$

Im allgemeinen gilt für \( k\ge 2 \)

$$ (4) \quad a_{k+1} = \frac{a_k}{k+1}  $$

D.h. $$ y(x) = -2 - x + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} x^k = e^x -3 -2x $$

vor von 33 k

Wie ich sehe hast du 0^0:=1? Ist es im Rahmen der Aufgabenstellung generell einfach sinnvoll das so einzuführen bzw. üblich bei der Betrachtung von Taylor-Polynomen?
Ansonsten müsste man evtl. in Erwägung ziehen das erste Glied wegzulassen.

Wo habe ich \( 0^0 = 1 \) benutzt? Für die Berechnung von \( a_0 \) gilt

$$ y(x) = a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_k x^k $$ und daraus $$ y(0) = -2 = a_0 $$ Hier wurde das also nicht benutzt.

Für \( y'(x) = y(x) +1 + 2x \) folgt aus (1)

$$ (*) \quad a_1 + \sum_{k=1}^\infty a_{k+1} (k+1) x^k = a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_k x^k + 1 +2x $$ und wenn man in diesen Ausdruck \( x = 0 \) einsetzt folgt

$$ a_1 = a_0 + 1 = -1 $$ Hier wurde es also auch nicht benutzt.

Die beiden Koeffizienten eingesetzt ergibt aus \( (*) \)

$$ \sum_{k=1}^\infty a_{k+1} (k+1) x^k = \sum_{k=1}^\infty a_k x^k + 2x $$

Also für \( k=1\) folgt \( 2 a_2 = a_1+2 = 1 \)  und für \( k \ge 2 \) $$ (k+1)a_{k+1} = a_k $$

Hier wurde also auch nicht \( 0^0=1 \) benutzt.

Achso, dann hast du oben aber glaube ich die Indexverschiebung vergessen. ;)

Ich glaube nicht. Ansonsten zeig mir mal die Stelle.

Gleich in der ersten Zeile z.B., wo du für y(x) eine allg. unendliche Reihe ansetzt.
Diese ist ohne weitere Annahme in der Stelle x=0 im ersten Summanden (k=0) nicht definiert.

Danke erstmal für deine tolle Antwort :)

zu b) komme ich irgendwie nicht weiter. Könntest du mir dabei helfen bitte?

ich glaube ich hab Fehler bei a3140383148_256153262598618_4188354689780557165_n.jpg

@Senfboy
Gleich in der ersten Zeile z.B., wo du für y(x) eine allg. unendliche Reihe ansetzt.
Diese ist ohne weitere Annahme in der Stelle x=0 im ersten Summanden (k=0) nicht definiert.

Die Reihe ist für mich so definiert.

$$ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_k x^k $$

Die rechte Seite ist auch einwandfrei meiner Meinung nach. Auch in deinem Folgebeitrag hast du ja alles richtig.
Wenn du die Reihe allerdings so definierst, dann verwendest du ja 0^0=1. Das ist tatsächlich anscheinend auch üblich in manchen Bereichen, wie ich mich in der Zwischenzeit belaß.

Denn wie soll sonst der nullte Summand a0 sein, wenn der Ausruck für den ersten Summanden a0*00 (x=0,k=0) ist?

Vielleicht kann man das ganze umgehen indem man anstelle von $$ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$ immer den Ausdruck $$ a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_k x^k $$ einsetzt. Dann hat man nie den Fall \( 0^0 \). Dann brauch man man die von mir gegebene Definition nicht und man kommt trotzdem zum richtigen Ergebnis.

zu b) komme ich irgendwie nicht weiter. Könntest du mir dabei helfen bitte? ich glaube ich hab Fehler bei a3

bitte hilfe...

Vielleicht kann man das ganze umgehen indem man anstelle von..

Finde, dass das schon ganz in Ordnung ist so, wenn man einfach 00 := 1.
Ich habe das auch anders gerade ausprobiert und das artet nur in Nervkram aus mit den Indexverschiebungen.

@ elena_12
zu b) komme ich irgendwie nicht weiter. Könntest du mir dabei helfen bitte?

ich glaube ich hab Fehler bei a3

Nach einsetzten der Potenzreihe in die Dgl. kommst Du auf folgende Rekursionsformel

$$ (k+2)(k+1)a_{k+2} + (k+1) a_{k+1} + a_k = 0 $$

Mit den Anfangswerten \( a_0 = 1 \) und \( a_1 = 0 \) können die restlichen Werte berechnet werden. Also z.B. \( a_2 = -1/2 \), \( a_3 = 1/6 \) und \( a_4 = 0 \) usw.

Das kann man auch plotten. Sieht dann z.B. so aus


blob.png

Mal aus didaktischer Neugier: Hast du denn jetzt verstanden wie man das mit den Differentialgleichungen löst?

(k+2)(k+1)a_{k+2} + (k+1) a_{k+1} + a_k = 0

Einfach die Potenzreihen differenzieren und in die Dgl. einsetzen ergibt

$$ \sum_{k=0}^\infty a_k k (k-1) x^{k-2} + \sum_{k=0}^\infty a_k k x^{k-1} + \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = 0 $$

Dann \( a_0 \) und \( a_1 \) ausrechnen und danach eine Indexverschiebung in den Summen machen, dann bekommst Du

$$ \sum_{k=0}^\infty a_{k+2} (k+2) (k+1) x^{k} + \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}( k+1) x^{k} + \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = 0 $$

Wo ist X? Was hast du damit gemacht?

Jetzt nach Potenzen von \(x\) sortieren und die Koeffizienten vergleichen.

Im allgemeinen gilt für \( k\ge 2 \)


$$ (4) \quad a_{k+1} = \frac{a_k}{k+1}  $$

D.h. $$ y(x) = -2 - x + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} x^k = e^x -3 -2x $$


wie ist das bei b) ? Könntest du mir das erklären bitte?

@Felix
Mal aus didaktischer Neugier: Hast du denn jetzt verstanden wie man das mit den Differentialgleichungen löst?

Meinst Du mich oder Elena?

Damit meine ich den Fragesteller

@elena
wie ist das bei b) ? Könntest du mir das erklären bitte?

Bei (b) habe ich kein explizites Bildungsgesetz feststellen können, sondern nur die einzelnen Koeffizienten ausgerechnet und und in die Potenzreihe eingesetzt. Das hat dfann auch zu dem Ploz geführt.

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