Ich zeige mal (a), die andere geht genauso.
Sei y(x)=k=0∑∞akxk dann gilt y′(x)=k=0∑∞akkxk−1=k=0∑∞ak+1(k+1)xk
Einsetzen in die Dgl. liefert
(1)k=0∑∞akkxk−1=k=0∑∞ak+1(k+1)xk=k=0∑∞akxk+1+2x
Aus y(0)=−2 folgt sofort a0=−2
Aus (1) folgt durch vergleich der Potenzen von x
(2)a1=a0+1=−1
(3)a2=2!1
a3=3!1
Im allgemeinen gilt für k≥2
(4)ak+1=k+1ak
D.h. y(x)=−2−x+k=2∑∞k!1xk=ex−3−2x