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hallo :)

Ich bräuchte Hilfe bei diesen zwei Aufgaben. Bei der ersten reichen auch nur die Schritte nach dem Gleichungssystem.

danke schon mal für die Hilfe!!


1. Bestimmen Sie alle Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \), die gleichzeitig senkrecht auf \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\3\\2\end{pmatrix} \) stehen.
Stellen Sie dazu ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie dieses.


2. Berechnen Sie u = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \) x \( \begin{pmatrix} 1\\3\\2\end{pmatrix} \) und zeigen Sie, dass u senkrecht auf \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\3\\2\end{pmatrix} \) steht.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

zu 1) Eine Matrix-Multiplikation wird nach der Regel "Zeile mal Spalte" durchgeführt. Deswegen können wir die beiden Vektorgleichungen zu einer Matrixgleichung zusammenfassen:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\quad;\quad\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 3 & 2\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec 0$$

Diese Matrixgleichung lässt sich nach dem Gauß-Verfahren lösen:$$\begin{array}{rrrr|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 2 & 0 & -\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 & -\text{Zeile 2}\\0 & 2 & 1 & 0 & \\\hline1 & -1 & 0 & 0 & \\0 & 2 & 1 & 0 & \\\hline\end{array}$$Mehr Spalten mit genau einer Eins und sonst nur Nullen können wir nicht erzeugen. Wir lesen 2 Gleichungen ab:$$x-y=0\quad;\quad 2y+z=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=y\quad;\quad z=-2y$$Die Lösungsvektoren sind also:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\y\\-2y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$$Der Vektor \((1|1|-2)\) und jedes Vielfache davon steht also senkrecht auf den beiden Vektoren.

zu 2) Direkte Berechnung mittels des Vektorproduktes:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2-1\cdot3\\1\cdot1-1\cdot2\\1\cdot3-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$$Tatsächlich ist dies exakt die negative Lösung des Vektors aus 1), den wir ja gerade so bestimmt haben, dass er senkrecht auf den beiden Vektoren steht. Daher steht auch der Lösungsvektor aus 2) senkrecht auf den beiden Vektoren.

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