Bestimmen sie für A ∈ ℝn×n die Ableitung von f: ℝn → ℝ x → xT Ax

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie für A ∈ ℝ^n×n die Ableitung von f: ℝⁿ → ℝ x → x^T Ax

Problem/Ansatz:

Bitte helfen :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Wir schreiben die Funktion mit Hilfe von Summenzeichen$$f(\vec x)=\vec x^T\cdot(\mathbf A\cdot\vec x)=\sum\limits_{i=1}^nx_i(\mathbf A\cdot\vec x)_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}x_k=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}x_ix_k$$um nun die partiellen Ableitungen bestimmen zu können:

$$\frac{\partial f}{\partial x_j}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial}{\partial x_j}\left(A_{ik}x_ix_k\right)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\left(A_{ik}\,\delta_{ji}\,x_k+A_{ik}x_i\,\delta_{jk}\right)$$Darin ist das sog. "Kronecker-Delta" $\delta_{ik}=1$, falls $i=k$, und $\delta_{ik}=0$, falls $i\ne k$.

$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x_j}}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}\,\delta_{ji}\,x_k+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}x_i\,\delta_{jk}=\sum\limits_{k=1}^nA_{jk}\,x_k+\sum\limits_{i=1}^nA_{ij}\,x_i$$

$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x_j}}=\sum\limits_{k=1}^nA_{jk}\,x_k+\sum\limits_{i=1}^n(A^T)_{ji}\,x_i=(\mathbf A\cdot\vec x)_j+(\mathbf A^T\cdot\vec x)_j$$

Damit haben wir den Gradienten gefunden:

$$\operatorname{grad}f(\vec x)=(\mathbf A+\mathbf A^T)\cdot\vec x$$