Question

Seien \( V \) und \( W \) zwei endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper \( K \) und sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(ii) Es gilt \( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(f)) \leq \operatorname{dim}(V) \).
(ii) Gilt \( \operatorname{dim}(V)<\operatorname{dim}(W), \) so ist \( f \) nicht surjektiv.
(iii) Gilt \( \operatorname{dim}(V)>\operatorname{dim}(W), \) so ist \( f \) nicht injektiv.
(iv) Gilt \( \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W), \) so ist \( f \) injektiv genau dann, wenn \( f \) surjektiv ist.

Answer 1

Satz. Sei \(\left( v_1, \dots,v_n\right)\) eine Basis von \(V\) und \(\left\{w_1,\dots,w_n\right\}\subseteq W\). Dann gibt es genau eine lineare Abbildung \(\varphi:V\to W\) mit

        \(\varphi\left(v_i\right) = w_i\) für alle \(i \in \left\{1,\dots,n\right\}\).

(ii) Es gilt \( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(f)) \leq \operatorname{dim}(V) \).

Sei \(\left( v_1, \dots,v_n\right)\) eine Basis von \(V\) und \(\left\{w_1,\dots,w_n\right\}\subseteq W\) so dass

    \(f\left(v_i\right) = w_i\) für alle \(i \in \left\{1,\dots,n\right\}\).

Dann ist

        \(\operatorname{im}(f) = \langle\left\{w_1,\dots,w_n\right\}\rangle\)

also

        \(\operatorname{dim}\left(\operatorname{im}(f)\right) = \operatorname{dim}\left(\langle\left\{w_1,\dots,w_n\right\}\rangle\right) \leq n = \operatorname{dim}(V)\).

Die drei anderen Teilaufgaben laufen ähnlich.