Bestimmung der Basis des Kerns und der injektivität oder surjektivität

Question

Hallo in die Mathe Community,

-Es soll bei der folgenden Abbildung eine Basis des Kerns  ker(φ) und des Bildes φ(R ^4) von φ bestimmt werden.

-Außerdem soll überprüft werden, ob die Abbildung φ injektiv oder surjektiv ist.

Die Abbildung φ ∈ L(R^4,R^3) ist durch : \( \phi\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right):=\left(\begin{array}{c}x_{1}-x_{4} \\ x_{2}-x_{3}+2 x_{4} \\ 3 x_{1}+x_{4}\end{array}\right) \) gegeben.

Es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss.

Answer 1

Für den Kern bestimme dir eine Matrix A mit  Φ(x)=A*x , das wäre A =

1   0    0    -1
0   1    -1    2
3   0    0     1

Diese hat Rang=3 ; denn mit Gauss geht sie auf

1  0    0    -1
0  1    -1    2
0   0    0    4 

Und wenn du die als Matrix eines homogenen lin.

Gleichungssystems nimmst sind die Lösungen von der

Art   x4=0     x3 beliebig, also etwa x3=t

==>   x2 - t + 2*0 = 0 also    x2 = t

und x1=0 .  ( 0 ; t ;  t ; 0 ) . So sehen die

Elemente des Kerns aus , also Basis etwa ( 0;1;1;0).

Und wegen dim(Kern)=1 ==>   dim(Bild)=3, also

sind die erste, zweite und 4. Spalte von A eine Basis

für das Bild.