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Aufgabe: Ist duch folgende Ausdrücke ein Skalarprodukt auf V=ℝ2 gegeben?

(1) ⟨x,y⟩ = x1y1

(2) ⟨x,y⟩ = x1y1 - 2x1y2 - 2x2y1 + 5x2y2


Problem/Ansatz:

ich weiß schon das man für diese Aufgabe die Ausdrücke auf Symmetrie, Bilinearität und positive Definitheit untersuchen muss. Sei Symmetrie habe ich für (1) symmetrisch raus und für (2) nicht symmetrisch. Ich weiß nicht ob ich richtig liege, aber dann müsste ich bei (2) ja eigentlich nicht weiterrechnen, wenn die Symmetrie schon entfällt.

Könnte mir jemand bei den anderen beiden Kriterien helfen?


LG Blackwolf

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Bist du hier weitergekommen ? Irgnedwie komme ich bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter

Hallo, ja ich würde die Aufgabe als gelöst bezeichnen, weiß aber nicht ob es ob alles richtig ist.

Wobei genau scheitert du denn?

(1) oder (2)

Bin noch bei dem ersten und nichtmal da komme ich weiter :/

(1) symmetrie: ⟨x,y⟩ = xy1 = yx1 =⟨y,x⟩    somit ist der Ausdruck symmetrisch

     positiv definit: ⟨x,x⟩ = x1·x1 ≥ 0

                                            x12 ≥ 0   Ι wurzel ziehen

                                            x1 ≥ 0


                       ⟨x,x⟩ = 0 ; x = 0  → ⟨x,x⟩ = 0·0 = 0      da beide Voraussetzungen für die

                                                                                  positive Definitheit erfüllt sind, ist es

                                                                                  positiv definit


linear im 2. Argument: ⟨x,y1+y2) = x1·(y1+y2) = x1y1+x1y2 = ⟨x,y1⟩ +⟨x,y2

                            α∈ℝ   ⟨x,αy⟩ = x1·αy1 = α(x1+y1) = α·⟨x,y⟩   

                                    wieder stimmen beide voraussetzungen und der Ausdruck

                                    ist im 2. Argument linear



→ Da alle Kriterien für ein Skalarprodukt erfüllt sind ist (1) ein Skalarprodukt.

(2) symmetrie: ⟨x,y⟩ = x1y1 - 2x1y2 - 2x2y1 + 5x2y2

                                  = y1x1 - 2y2x1 -2y1x2 + 5y2x2   ≠ ⟨y,x⟩    somit nicht symmetrisch

                                                                                                → kein Skalarprodukt




Ich hoffe das ist richtig und sag bescheid falls du Fragen dazu hast.

Leider sind die Aussagen fast alle falsch! Siehe meine Antwort.

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