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Aufgabe:

∫ \( \frac{x^3}{(x-4)^4} \) dx Wird im folgenden mit partieller Integration gelöst (liefert aber falsches Ergebnis)


NR.: ∫ \(\frac{1}{(x-4)^4} \) dx = \( \frac{1}{-3} \) \( \frac{1}{(x-4)^3} \)

∫ \( \frac{x^3}{(x-4)^4} \) dx      u = \(x^3\) ;    u' = \(3x^2\) ;    v = \( \frac{-1}{3(x-4)^3} \) ;    v' = \( \frac{1}{(x-4)^4} \)

∫ \( \frac{x^3}{(x-4)^4} \) dx = \( \frac{-x^3}{3(x-4)^3} \) - ∫ \( \frac{-3x^2}{3(x-4)^3} \) dx
 
                  = \( \frac{-x^3}{3(x-4)^3} \) + ∫ \( \frac{x^2}{(x-4)^3} \) dx


∫ \( \frac{x^2}{(x-4)^3} \) dx     u = \(x^2\) ;    u' = 2x ;    v = \( \frac{-1}{2(x-4)^2} \) ;    v' = \( \frac{1}{(x-4)^3} \)

∫ \( \frac{x^2}{(x-4)^3} \) dx = \( \frac{-x^2}{2(x-4)^2} \) - ∫ \( \frac{-2x}{2(x-4)^2} \) dx
                  = \( \frac{-x^2}{2(x-4)^2} \) + ∫ \( \frac{x}{(x-4)^2} \) dx

∫ \( \frac{x}{(x-4)^2} \) dx       u = x;    u' = 1;    v = \( \frac{-1}{(x-4)} \) ;    v' = \( \frac{1}{(x-4)^2} \)

∫ \( \frac{x}{(x-4)^2} \) dx = \( \frac{-x}{(x-4)} \) - ∫ \( \frac{-1}{(x-4)} \) dx
                  = \( \frac{-x}{(x-4)} \) + ∫ \( \frac{1}{(x-4)} \) dx

∫ \( \frac{1}{(x-4)} \) dx = ln(x-4)
Damit ergibt sich nach 3 partiellen Integrationen folgendes Endergebnis:
∫ \( \frac{x^3}{(x-4)^4} \) dx = \( \frac{-x^3}{3(x-4)^3} \) - \( \frac{x^2}{2(x-4)^2} \) - \( \frac{x}{(x-4)} \) + ln(x-4)
Alle anderen Integrationsmethoden inklusive Bronstein bestätigen aber folgendes Ergebnis:

∫ \( \frac{x^3}{(x-4)^4} \) dx = \( \frac{-64}{3(x-4)^3} \) - \( \frac{48}{2(x-4)^2} \) - \( \frac{12}{(x-4)} \) + ln(x-4)

Problem/Ansatz:

Hallo Gemeinschaft.

Mein Problem ist, dass ich obiges Integral eigentlich zuerst mit der partiellen Integration lösen wollte und das auch geschafft habe, doch das Ergebnis ist offensichtlich nicht korrekt (siehe meine Aufgabe mit Lösung). Ich kann das Integral auch mit der Partialbruchzerlegung und der Substitutionsmethode lösen (Substituiere z = (x-4)) und erhalte ein Ergebnis, das laut Bronstein richtig ist. Das Ergebnis steht ebenfalls dabei.

Was ich jetzt einfach nicht verstehe ist, dass ich mit der partiellen Integration ein falsches Ergebnis kriege und ich finde keinen Fehler, den ich gemacht habe. Ich denke da jetzt schon seit einiger Zeit darüber nach ... es ist ein Rätsel für mich. Ich dachte jetzt, vielleicht ist die partielle Integration bei manchen Funktionen einfach nicht anwendbar, doch ich erinnere mich einfach nicht mehr daran und das Studium ist jetzt schon so lange her, sodass ich da einfach nicht mehr weiter weiß. Ich erinnere mich, dass ich im Studium (Physik) auch mal so ein Problem hatte, aber da haben wirs dann auch einfach anders integriert um auf ne richtige Lösung zu kommen ...heute ein paar Jahre später habe ich aber die Zeit genauer hinzusehen und es lässt mich einfach nicht in ruhe, das mit der PI nicht lösen zu können und vorallem nicht zu wissen, wieso ich das nicht kann =)

Das Internet gibt leider keine verwertbaren Ergebnisse her, dass man die partielle Integration nicht verwenden dürfte, daher stelle ich hier meine Frage und bitte um Antwort, damit die arme Seele ihre Ruhe finden kann. =)


Liebe Grüße


Tamara

von

Du hast dir viel Mühe gemacht mit deiner Frage.

Probiers mal hier, da sind Profis:

https://t1p.de/jm6k

Hallo Willy, wie hast du diese Filter-umgehende Kurzadresse generiert?

Habe brennendes Interesse!


Geht das nur für die Startseite, oder kann man mit vertretbarem Aufwand auch zu konkreten Posts (z.B. bei Doppelposts) verlinken?

2 Antworten

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Beste Antwort

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Der Unterschied ist also nur ein Konstante

von 33 k

Erstmal danke für die Antwort, das haut mich jetzt doch irgendwo etwas vom Höckerchen :D ... ich hab gerade mal beide Funktionen geplottet und wenn ich die Konstante \( \frac{-11}{6} \) abziehe, dann komme ich tatsächlich auf einen deckungsgleichen Plott .... Dafür bin ich echt richtig dankbar, an die numerische Auswertung hatte ich nicht gedacht.


Jetzt würde sich für mich noch die finale Frage stellen ... Angenommen, ich habe keinen Bronstein zur Hand, woher weiß die dumme Physikerin, dass sie da noch ne Konstante abziehen oder dazurechnen muss bzw. welche der Funktionen stimmt? Klar, numerisch nachrechnen geht immer oder approximieren, aber würde euch jetzt so eine ad hoc methode einfallen? Mir ist das jetzt nur durch Zufall aufgefallen, dass sich da unterschiedliche Lösungen ergeben, aber normalerweise rechnet man sein Integral ja nicht auf mehrere Wege aus ... und wenn man mal - wie ich - etwas aus der Übung ist, ... =)


Auf jedenfall nochmals exp(∞) fachen Dank an euch  

Du hast ja ein unbestimmtes Integral ausgerechnet. Da kommt bei der Lösung mit partieller Integration genauso eine beliebige Konstante hinzu wie bei der Bronstein Methode. Eindeutig wird das ganze erst, wenn die Integralgrenzen bekannt sind. Dann unterscheiden sich die Lösungen auch nicht mehr.

vorallem in der theoretischen Physik hatte ich meist unbestimmte Integrale, wirklich was mit Zahlen ausgerechnet habe ich selten ... das war jetzt mal ne echte Erkenntnis und bringt mich auch in der theoretischen Stochastik weiter - im Zweifelsfall dann hald mit Zahle; danke nochmals =)

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Hallo,

ich habe auch keinen Fehler gefunden.

Du musst bedenken, dass sich die gefundenen unbestimmten Integrale ja noch um eine Konstante unterscheiden können. Um das zu überprüfen, musst Du die beiden Ausdrücke subtrahieren und schauen, ob eine Konstante herauskommt. Macht natürlich Arbeit - oder hast Du eine Computer-Algebra zur Hand?

Gruß MathePeter

von 2,7 k

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