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ich weiß nicht, wie folgene Aufgabe geht:


Seien a,b ∈ ℝ mit a < b. Sei f : [a,b] -> ℝ differenzierbar und sei f ' stetig.


Zeige

a) durch partielle Integration, 

b) durch Substitution

dass 1/2 f^2 : [a,b] -> ℝ eine Stammfunktion von f * f ' : [a,b] -> ℝ ist


Kann mir jemand helfen?

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durch partielle Integration:

∫ f * f '  dx =  f*f - ∫ f' * f   dx     | + ∫ f' * f   dx

2*∫ f * f '  dx =  f*f

==>  ∫ f * f '  dx =  f*f  / 2 


b) durch Substitution

∫ f(x) * f '(x)   dx   ersetze  u=f(x) also du / dx = f ' (x)

                           bzw.  du =  f '(x)   dx

= ∫ u * du   =  0,5*u^2 und wieder   u=f(x)  einsetzen.

von 187 k 🚀
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Was hindert dich daran genau der Anweisung in der Fragestellung zu folgen?

Den Faktor 1/2 bekommst du dann voraussichtlich ähnlich wie hier https://www.mathelounge.de/552346/partielle-integration-mit-sin-und-cos .

von 159 k 🚀
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∫f*f' = [f2] - ∫f'*f

uv'   uv       u'v

Das Int nach rechts:

2∫f*f' = [f2]

∫f*f' = 1/2*[f2]


Subst:

∫f*f' = ∫u*du = [1/2*u2] = [1/2*f(x)2]

u=f(x), also du=f'(x)dx

von 4,1 k

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