Bestimmen einer ganzrationalen Funktion 3.Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3.Grades, die bei x = -1 eine
Nullstelle hat und bei x = -2 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y = 3x+2,5

Problem/Mein Ansatz:

f(x)= ax³+bx²+cx+d

x= -1 => a(-1)³ + b(-1)² +c*(-1) + d = 0

=>  -a +b -c + d = 0

f'(x) = 3ax² + 2bx +c

x=-2 => 3*a*(-2)² + 2b*(-2)+c

     => 12*a - 4b + c = 0

f(-2) = a*(-2)³ + b*(-2)² + c*(-2) +d

=> 8a+4b-2c+d

Wendetangente y = m*x+b

Könnt ihr mir bitte bei der Aufgabe helfen?

Answer 1

bei x = -1 eine Nullstelle

f(-1) = 0 ⇒ -a +b -c + d = 0

bei x = -2 einen Wendepunkt

f''(-2) = 0 ⇒ ...

Wendetangente y = 3x+2,5

f'(-2) = 3 ⇒ 12*a - 4b + c = 3

f(-2) = 3·(-2) + 2,5 ⇒ -8a+4b-2c+d = 3·(-2) + 2,5

Comments

Also war mein Ansatz teilweise richtig?

Und ich verstehe nicht wie ich die Funktion aus den Angaben bilde....

Und wie ich das mit der Wendetangente miteinbeziehe

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Ich kann einfach nicht glauben, dass mein Ansatz zumindest zum Teil richtig war.

Dachte erst, dass wäre total falsch o.O

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Also war mein Ansatz teilweise richtig?

Von den vier benötigten Gleichungen war eine richtig. Also war dein Ansatz teilweise richtig.

Allerdings fand ich die Gleichung 12*a - 4b + c = 0 recht abenteuerlich.

wie ich die Funktion aus den Angaben bilde

Das aus den vier Gleichungen bestehende Gleichungssystem lösen.

Und wie ich das mit der Wendetangente miteinbeziehe

Wendetangente ist die Tangente am Wendepunkt.

Wendepunkt ist bei x = -2.

Am Wendepunkt ist die zweite Ableitung Null. Daher die Bedingung

        f''(-2) = 0

zu der du noch die passende Gleichung finden musst.

Eine Tangente hat zwei charakteristische Eigenschaften.

1. Sie hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion Daher die Bedingung

           f'(-2) = 3

2. Sie hat dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion Daher die Bedingung

         f(-2) = 3·(-2) + 2,5
   

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Ich habe die letzte Gleichung aus meiner Antwort noch mal korrigiert.

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Wie lautet die Funktion da bzw. wie geht man dann vor?

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Kriege das Gleichungssystem einfach nicht gelöst

-a+b-c+d = 0

-12a+2b = 0

-8a+4b-2c+d = 3,5

-1   1  -1  1  | 0

-12  2   0  0 | 0

-8    4  -2  1 | 3,5

-12  2  0  0 | 0

-1   1  -1  1 | 0

-8   4   -2  1|3,5  III * (.8)II

-12  2  0  0 | 0

-1   1   -1 1 | 0  II*(-1/12)*I

0    -4    6 -7| 3,5

-12  2  0  0 | 0

0   5/6  -1  1| 0

0    -4    6  -7| 3,5  III+6*II

-12  2     0  0  | 0

0   5/6   -1  1 | 0

0    1      0   1| 3,5

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Zitat aus meinem Kommentar:

        Das aus den vier Gleichungen bestehende
        Gleichungssystem lösen.

Zähle mal, wieviele Gleichung dein Gleichungssystem hat.

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            -1  -5   0   1  | 3

           0  62  0 -12 | -36

           0   -6  1   0  | 3

           0    32  0 -7 | -21,5

Komme leider nicht weiter .

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Ich habe genau das gemacht, was du gesagt hast, kriege aber das falsche Ergebnis raus....

=> f(x) = -0,03x³  -0,18x²  + 2,64x + 2,79

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Selbst , wenn ich das online berechne krieg ich das falsche Ergebnis raus......

https://matrixcalc.org/de/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%…

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Dann probier es mal mit dem richtigen LGS

https://matrixcalc.org/de/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination(…

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Was genau habe ich falsch gemacht??

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Vergleiche mal die letzte Gleichung

die üblichen Verdächtigen....

Answer 2

$$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)= 3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)= 6ax+2b$$$$f(-1)= -a+b-c+d=0$$$$f''(-2)= -12a+2b=0$$$$f'(-2)= 12a-4b+c=3$$$$f(-2)= -8a+4b-2c+d=-6+2,5$$$$f(-2)= -8a+4b-2c+1d=-3,5$$

$$\begin{pmatrix} -8 & 4&-2&1&|&-3,5\\12&-4&1&&|&3\\-6&1&&&|&0 \\ -1& 1&-1&1&|&0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -8 & 4&-2&1&|&-3,5\\12&-4&1&&|&3\\-6&1&&&|&0 \\ 7& -3&1&0&|&3,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -8 & 4&-2&1&|&-3,5\\12&-4&1&&|&3\\-6&1&&&|&0 \\ -5& 1&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -8 & 4&-2&1&|&-3,5\\12&-4&1&&|&3\\-6&1&&&|&0 \\ 1& 0&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0& 4&-2&1&|&0,5\\0&-4&1&&|&-3\\0&1&&&|&3 \\ 1& 0&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0& 0&-2&1&|&-11,5\\0&0&1&&|&9\\0&1&&&|&3 \\ 1& 0&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0& 0&-2&1&|&-11,5\\0&0&1&&|&9\\0&1&&&|&3 \\ 1& 0&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0& 0&0&1&|&6,5\\0&0&1&&|&9\\0&1&&&|&3 \\ 1& 0&0&0&|&0,5 \end{pmatrix}$$

$$f(x)= 0,5x^3+3x^2+9x+6,5$$

Answer 3

Hallo,

es gibt noch einen einfacheren Weg, als am Ende vier Gleichungen mit vier Unbekannten lösen zu müssen.

Prolog

Dazu muss man aber wissen, dass ein kubisches Polynom punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist. Ein kubisches Polynom - also eine ganzrationale Funktion 3.Grades - mit einem Wendpunkt im Ursprung sieht so aus:$$p(x) = ax^3 + cx$$Das lässt sch leicht zeigen, die 2.Ableitung ist $p''(x) = 6ax$, und die ist $=0$ wenn $x=0$ ist.

Nun kann man jede Funktion um $\alpha$ in $x$ und um $\beta$ in $y$ verschieben, indem man $x$ durch $x-\alpha$ ersetzt und zur Funktion $\beta$ addiert. Das mache ich jetzt auch mit unserem $p(x)$$$p(x) = a(x-\alpha)^3 + c(x-\alpha) + \beta$$Die 2.Ableitung ist $p''(x) = 6a(x- \alpha)$, d.h. der Wendepunkt ist bei $\alpha$ und der Funktionswert der Wendestelle ist $p(\alpha) = \beta$.

Folglich lautet eines ganzrationale Funktion 3.Grades $f(x)$ mit bekannter Wendestelle bei $(x_w,\,y_w)$:$$f(x) = a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$

Zur Aufgabe

Von der gesuchten Funktion sind vier Bedingungen bekannt$$\begin{aligned} f(-1) &= 0\\ f''(-2) &= 0 &&|\, \text{Wendepunkt} \\ f'(-2) &= t'(-2) = 3 &&|\, t(x)=3x+2,5 \\ f(-2) &= t(-2) = 3 \cdot (-2)+2,5 = -3,5\end{aligned}$$Mit der zweiten und vierten Bedingung liegen die Koordinaten der Wendestelle fest: $(x_w|\,y_w) = (-2|-3,5)$. Die Funktion und ihre Ableitung lauten also (s.o.)$$\begin{aligned} f(x) &= a(x+2)^3 + c(x+2) - 3,5 \\ f'(x) &= 3a(x+2)^2 + c \end{aligned}$$Einsetzen der dritten Bedingung $f'(-2)=3$ in die Ableitung gibt$$f'(-2) = 3a((-2)+2)^2 + c = 3 \implies c = 3$$Und zum Schluß noch die erste Bedingung $f(-1)=0$ in $f(x)$ einsetzen$$f(-1) = a((-1) + 2)^3 + 3((-1) + 2) - 3,5 = a - 0,5 = 0 \\ \implies a = 0,5$$Die gesuchte Funktion ist somit$$f(x) = 0,5(x+2)^3 + 3(x+2) - 3,5$$Diese kann man noch in die Normalform bringen. Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass $$(x+\alpha)^3 = x^3 + 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x + \alpha^3$$ ist. Dann wird daraus$$\begin{aligned} f(x) &= 0,5(x+2)^3 + 3(x+2) - 3,5 \\&= 0,5(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 3x + 6 - 3,5 \\&= 0,5x^3 + 3x^2 + 6x + 4 + 3x + 2,5 \\&= 0,5x^3 + 3x^2 + 9x + 6,5\end{aligned}$$Folgender Plot zeigt den Graphen

Plotlux öffnen

f₁(x) = 0,5x³+3x²+9x+6,5f₂(x) = 3x+2,5P(-2|-3,5)Zoom: x(-7…5) y(-20…12)

Die rote Gerade ist die Wendetangente $t(x)=3x+2,5$.

Gruß Werner