Potenzreihe, Konvergenzradius bestimmen

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen ist der Konvergenzradius dieser Reihe: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} (n!)^{2}}{n^{n}} x^{n}}$

bzw. für welche $$x \in \mathbb{R}$$ konvergiert die Reihe

Problem/Ansatz:

Hat jemand hierfür einen etwas ausführlicheren Ansatz? Ich komme immer auf einen Radius von 0, also nur für $$x = 0$$.

Answer 1

Ich komme immer auf einen Radius von 0

Das ist richtig, denn $\sqrt[n]{(n!)^2}\to \infty$. Damit geht der Nenner bei der Cauchy-Hadamard-Formel gegen unendlich und der Quotient gegen $0$. Wenn du dir und mir nicht glaubst, gibt es auch WolframAlpha...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=radius+of+convergence+of+%28-1…

Comments

Wie kann man das formal sauber beweisen?

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Eines von diesen Kriterien:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konver…