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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus ψ : C[t]≤4 → C[t]≤4 existiert, für den gilt

t4t2t4+1t^4 − t^2 \rightarrow t^4+1

t3+ttt3t^3 +t \rightarrow t-t^3

t2t2+1t^2 \rightarrow t^2+1
tt3tt3t- t^3 \rightarrow t-t^3

111 \rightarrow 1

Berechnen Sie die Dimension von Bild und Kern von ψ.


Wie zeige ich den Endimorphismus und berechne das Bild und den Kern?

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Die gegebenen Polynome ( deren Bilder auch vorgegeben sind ) bilden eine

Basis von C[t]≤4  Durch Vorgabe der Bilder einer Basis ist ein Endomorphismus

immer eindeutig bestimmt.

Für den Rest ist es vielleicht besser die Bilder bezüglich der

Standardbasis { 1 , t , t2 , t3 , t4 } zu kennen.

Wenn f der Endomorphismus ist, gilt ja f(1)=1

und f(t) = f ( 0,5 * (t3+t + t - t3 ) )

          = 0,5 * ( f(t3 +t ) + f(t-t3 ) )

         = 0,5 * ( t-t3 + t - t3 ) = t - t3

und f(t2) = t2 + 1

f(t3) =  f ( 0,5 * (t3+t) - (t - t3 ) ))

       = 0,5 * ( f(t3 +t ) - f(t-t3 ) ) = 0

f( t4) = f( t4 - t2 + t2) = f( t4 - t2 ) + f( t2)

         = t4 + 1  + t2 + 1

          = t4 + t2 + 2

Damit hat man für die Matrix von f bzgl. der Standardbasen

im Original und Zielraum

 1   0   1   0   2
 0   1    0  0   0
 0   0    1   0   1
0   -1    0   0   0
0    0    0   0   1            4. Zeile plus zweite gibt

1  0  1  0  2
0  1    0  0  0
0  0    1  0  1
0   0    0  0  0
0    0    0  0  1

Also nach Anwenden des Gauass-Alg genau eine

0 auf der Hauptdiagonalen

     ==>    dim(Kern)=1 folglich dim(Bild)=5-1=4 

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