Menge im Vektorenraum

Question

Aufgabe: Menge im VektorenRaum.

Problem/Ansatz:

Ich habe mich schon immer gewundert wie man beweisen kann, dass die Menge für festen n ∈ N mit den folgenden Verknüpfungen ein Vektorraum ist.

Die Menge: V := ( \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) a_ixⁱ | a_i∈ R)

Die Verknüpfung:

\( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) a_ixⁱ+\( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) b_ixⁱ := \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) (a_i+b_i)xⁱ

λ * \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) a_ixⁱ := \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) λ a_ixⁱ
(V heißt Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich n.)

Danke für eure Antworten im voraus, das hält mich schon echt lange wach die Frage.

Answer 1

Dazu musst du einfach die Vektorraumaxiome nachprüfen.

Zum Beispiel: Abgeschlossenheit bezüglich + :

V := ( \( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) aixi | ai∈ R)

Wenn du also zwei Elemente von V addierst, muss das Ergebnis wieder

in V sein. Dem ist so , denn

\( \sum\limits_{i=0}^{n}{}  a_ix_i+  \sum\limits_{i=0}^{n}{}  b_ix_i := \sum\limits_{i=0}^{n}{} (a_i+b_i)x_i  \)

das Ergebnis entspricht der Definition, weil a_i+b_i ja auch immer eine reelle Zahl ist.

etc.