Verknüpfung ganze Zahlen

Question

Text erkannt:

Wir definieren auf \( \mathcal{R}=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) durch
$$ (a, b) \oplus(c, d)=(a+c, b+d) \quad \text { und } \quad(a, b) \odot(c, d)=(a c-b d, b c+a d) $$
(a) Die Menge \( \mathcal{R} \) mit den Verknüpfungen \( { }_{n} \oplus{ }^{\prime \prime} \) und \( { }_{n} \odot^{\text {" }} \) ist ein Ring mit Nullelement (0,0) und Einselement (1,0) .
(b) Die Vorschrift \( a \mapsto(a, 0) \) definiert einen Ringhomomorphismus \( j: \mathbb{Z} \rightarrow \mathcal{R} \).
(c) Es gibt ein Element \( i \in \mathcal{R}, \) so dass \( i \odot i=j(-1) \).
Hinweis: Sie dürfen die üblichen Rechengesetze in den ganzen Zahlen wie die Assoziativität oder Kommutativität von \( n+" \) und \( n \). " und das Distributivgesetz ohne Beweis verwenden.

Answer 1

Du kannst ja alle Eigenschaften des Ringes (ℤ,+,·) verwenden.

und musst die Eigenschaften von (R,⊕,⊗) darauf zurückführen:

1. R abgeschlossen bzgl ⊕. Seien (a,b) und (c,d) aus R.

==>  (a,b) ⊕ (c,d) =   ( a+c,b+d)    nach Def. von ⊕

und weil (ℤ,+) abgeschlossen ist , sind auch a+c∈ℤ und b+d∈ℤ,

also   (a,b) ⊕ (c,d) ∈ R.

2.    ⊕  ist assoziativ in R:  Seien (a,b) und (c,d) und (e,f)  aus R.

==>   ( (a,b) ⊕ (c,d))  ⊕ (e,f)      nach Def. von ⊕

      =  ( a+c,b+d)  ⊕ (e,f)         nach Def. von ⊕

    =  ( (a+c)+e,(b+d) +f)     Assoziativ. in (ℤ,+)

    =  ( a+(c+e),b+(d +f) )      nach Def. von ⊕

  = (a,b) ⊕ (c+e,d+f)     nach Def. von ⊕

     = (a,b) ⊕  ( (c,d)  ⊕ (e,f)  ) . q.e.d.

Auf ähnliche Weise kannst du alle gewünschten Eigenschaften

von R auf die von ℤ zurückspielen. Viel Schreibarbeit.