Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator lambda im Optimum?

Question

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute F(x1x2) = 9x1² + 74x1*x2 + 16x2². Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 99 und 96, wenn ein Produktionsniveau von 4409 erzielt werden soll. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator lambda im Optimum?

Richtige Lösung: 0.15

Meine Frage ist kann man so  eine Aufgabe in irgend einem Computerprogramm schnell berechen? Vielleicht in Wolfram Alpha oder ähnliches?

Answer 1

Hallo

ich glaube kaum, und selbst wenn, dann sitzt man in ner Klausur hilflos da, die Ableitungen dieser Funktionen sind so schnell gemacht, dass sich das Eingeben in ein Programm wohl kaum lohnt.

lul

Answer 2

Aloha ;)

Wenn du eine schnelle Lösung mit WolframAlpha haben möchtest, tippe dort

optimize 99x+96y where 9x²+74xy+16y²=4409

Allerdings wird dir da der Lagrange-Multiplikator nicht ausgegben. Für den Fall, dass du die Lösung verstehen möchtest, folgen die wesentlichen Zusammenhänge...

Wir sollen eine Funktion $F(x;y)$ unter einer Nebenbedingung $g(x;y)=\text{const}$ optimieren:$$F(x;y)=99x+96y\quad;\quad g(x,y)=9x^2+74xy+16y^2=4409$$Gemäß Lagrange muss im Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingngen sein. Die Koeffizienten sind die sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, gibt es auch nur einen Lagrange-Multiplikator:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad} g(x;y)$$Einsetzen ergibt:$$\binom{99}{96}=\lambda\cdot\binom{18x+74y}{74x+32y}$$Die beiden Gradienten müssen offenbar kollinear sein, also parallel oder antiparallel zueinander liegen. Daher spannen sie keine Fläche auf und ihre Determinante muss null sein:

$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rr}99 & 18x+74y\\96 & 74x+32y\end{array}\right)=5598x-3936y\implies y=\frac{933}{656}x$$

Mit dieser Bedingung kannst du nun alles ausrechnen. Setzt du das in die Nebenbedingung $g$ ein, folgt:$$4409=g\left(x;\frac{933}{656}x\right)=\frac{3\,943\,275}{26\,896}x^2\implies x=5,483847$$$$y=\frac{933}{656}x=7,799435$$$$99=\lambda\cdot(18x+74y)\implies\lambda=\frac{99}{18x+74y}=0,146478$$Für $x$ und $y$ kommen nur positive Lösungen in Betracht, weil es keine negativen Produktionsmengen gibt.

Comments

Allerdings wird dir da der Lagrange-Multiplikator nicht ausgegben.

Was auch ein ziemlicher Mumpitz wäre! ich weiß, dass bei Aufgaben dieser Art immer wieder nach dem Wert des Lambda-Operators $\lambda$ gefragt wird. Dieser ist aber auch davon abhängig, mit welchem Faktor die Nebenbedingung eben multipliziert wurde. Die Nebenbedingung ist hier: $$9x^2+74xy+16y^2-4409= 0$$Verwendet man sie in dieser Form, gibt es für $\lambda$ irgendeinen Wert. Aber was hält mich davon ab, sie mit 2 zu multiplizieren?$$17x^2+148xy+32y^2-8818= 0$$das ist doch die selbe Aussage - oder nicht? Aber der Wert für $\lambda$ würde sich dadurch im folgenden halbieren.

Das einzig wichtige ist, dass $\lambda \ne 0$ ist.

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VIelen dank!!! Es tut mir so leid, Ich habe versehntlich die falsche Antwort als beste Antwort markiert kann ich das irgendwie rückgängig machen? :(

Könntest du vl bei meiner neuesten Frage noch vorbeischauen? Wäre dir sehr dankbar

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Guten Tag Tschakabumba. Köntest du evtl. erklären, wie du (99 18x+74y; 96 74x+32y) berechnest? Vielen Dank.

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Hallo,

Köntest du evtl. erklären, wie du (99 18x+74y; 96 74x+32y) berechnest?

schau Dir mal folgendes Bild an. Nach rechts ist der Faktor $x_1$ und nach oben der Faktor $x_2$ aufgetragen. Das $y$ im Bild soll $x_2$ sein.

Die rote Kurve ist der Graph der Produktionsfunktion $F(x_1,x_2)$ bei einem Produktionsniveau von 4409. Die blaue Geraden sind Höhenlinien der Produktionskosten $$K(x_1,x_2)=99x_1+96x_2$$ von $K=1200$ bis $K=1500$. Tschakabumba hat das fälschlicherweise mit $F$ bezeichnet und das $F(x_1,x_2)$ mit $g(x_1,x_2)$. Und $$\operatorname{grad} K(x_1,x_2) = \begin{pmatrix}99\\96\end{pmatrix}$$ist der Gradient bzw. die Ableitung nach $x_1$ und $x_2$ der Kostenfunktion und ist die kleine blaue Strecke beim Punkt $K$.$$\operatorname{grad} F(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}18x_1+74x_2\\74x_1+32x_2\end{pmatrix}$$ist die Ableitung der Produktionsfunktion $F(x_1,x_2)$ nach $x_1$ und $x_2$ und wird im Bild durch die rote Strecke beim Punkt $K$ dargestellt. Somit steht diese Strecke immer senkrecht auf dem roten Graphen der Produktionsfunktion.

Wenn Du nun mit der Maus den Punkt $K$ auf die 'optimale Kurve' $$x_2=\frac{933}{656}x_1$$ verschiebst, so fallen die Richtungen der beiden Gradienten zusammen. D.h. sie sind dann kollinear. Und $\lambda$ ist das Verhältnis der beiden Beträge (Längen der Strecken) der Gradienten.

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Was auch ein ziemlicher Mumpitz wäre!

Warum wäre es ein ziemlicher Mumpitz, wenn  der Wert von λ im Optimum bei WolframAlpha angegeben werden würde? Dann bräuchte er doch nicht separat ausgerechnet werden. ;-)

Dieser ist aber auch davon abhängig, mit welchem Faktor die Nebenbedingung eben multipliziert wurde.

Ja, das ist richtig.

Verwendet man sie in dieser Form, gibt es für $\lambda$ irgendeinen Wert. Aber was hält mich davon ab, sie mit 2 zu multiplizieren?

Nichts und niemand hält dich davon ab.

17x²+148xy+32y²-8818= 0 

das ist doch die selbe Aussage - oder nicht? Aber der Wert für $\lambda$ würde sich dadurch im folgenden halbieren.

Du meinst sicher 18 anstatt 17, aber trotzdem ist das nicht dieselbe Aussage, weil der Output doppelt so hoch wäre. Da der Wert von λ im Optimum näherungsweise angibt, um wie viele Einheiten sich die Zielfunktion ändert, wenn sich der Output um eine Einheit ändert, ist es ein Unterschied, ob der Output 8818 ME oder 4409 ME beträgt.

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Hallo Enano,

vielen Dank für diesen Kommentar. Seit Jahren frage ich nach, wozu man den Wert des Multiplikators $\lambda$ benötigt. Endlich reagiert mal jemand darauf ;-)

Ich bin übrigens inzwischen auch selber drauf gekommen. Mein Mumpitz-Kommentar ist schon ein Jahr her. Es ist eben so, dass der Wert 4409 willkülich gewählt wurde und ein Ziel für die Produktionsfunktion darstellt, was sich aber ändern kann.

ich kenne dies aber nur hier aus der Wirtschaftsmathematik. In anderen Bereichen ist die Nebenfunktion mehr oder weniger fix. Zum Beispiel bei der Aufgabe mit der Sprungschanze. Hier ist die Nebenbedingung per Physik fixiert und man kann nicht mal eben die Erdbeschleunigung anpassen. Insofern spielt auch der Wert des $\lambda$ überhaupt keine Rolle.

Das wird auch der Grund sein, warum Wolfram-Alpha diesen Wert nicht ausspuckt. Wolfram weiß ja nicht, dass es sich dabei um eine Produktionsfunktion handelt.

Gruß Werner

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@Werner: Sehr schöne bildhafte Darstellung. Und Danke, dass du die Nachfrage beantwortet hast, ich habe am Montag den ganzen Tag IHK-Abschlussprüfungen korrigiert und schaue deswegen jetzt erst in die Lounge...

In der theoretischen Phyisk geben die Lagrange-Multiplikatoren Auskunft über die Stärke der Zwangskräfte, die einen Körper bei seiner Bewegung auf der Bahn halten, die die Nebenbedingungen vorgeben.

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Nach dem Lagrange-lambda wird gefragt, damit der Kandidat dieses Verfahren anwendet und zeigt ob er es kann, und nicht etwa einen Optimierungsrechner.