Für jeden Wert kann man eine Darstellungsmatrix finden, sodass die Determinante davon gleich dem Wert ist

Question

Angenommen, \( \varphi \) ist ein Isomorphismus. Beweisen Sie, dass man für jeden Wert \( \lambda \in \mathbb{K} \backslash\{0\} \) geordnete Basen \( \mathrm{B} \) und \( \mathrm{C} \) finden \( \operatorname{kann}, \) sodass \( \operatorname{det}\left(M_{\mathrm{C}, \mathrm{B}}(\varphi)\right)=\lambda \) gilt

Ich komme bei der Aufgabe nicht darauf, wie ich das formal beweisen soll. Mir erscheint das realtiv schlüssig, aber komme beim Beweis nicht weiter. Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte, danke im Voraus!

Answer 1

Sei B = ( v1,v2,...,vn ) eine Basis von V, wenn φ:V→W.

Da es ein Isom. ist, ist ( φ:(v1),φ:(v2),...,φ:(vn) ) eine Basis von W.

Wenn man diese beiden Basen wählt ist die Darstellungsmatrix die

Einheitsmatrix. Wähle also die Basis C= ( (1/λ)φ:(v1),φ:(v2),...,φ:(vn) ),

dann ist die Darstellungsmatrix fast gleich der Einheitsmatrix, nur

oben links steht statt der 1 ein λ. Also hat sie

die Determinante λ.