Zeige, dass es eine lineare Abbildung F: V → V* mit ⟨v,w⟩ = F(v)(w) für alle v, w ∈ V gibt

Question

Aufgabe:

Sei ⟨·, ·⟩ : V × V → K eine symmetrische Bilinearform, zeige, dass es eine lineare Abbildung gibt

Problem/Ansatz:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und  ⟨·, ·⟩ : V × V → K eine symmetrische Bilinearform.

Zeige, dass es eine lineare Abbildung F: V → V* mit ⟨v,w⟩ = F(v)(w) für alle v, w ∈ V gibt

Comments

Und wo ist das Problem?

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Ich weiß leider nicht wie ich da vorgehen soll, also wie ich zeigen kann, dass es eine lineare Abbildung gibt. Der Ansatz fehlt mir.

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Du musst dir zuerst überlegen wie die F(v) aussehen sollen. F(v) ist eine lineare Abbildung aus dem Dualraum. Es soll F(v)(w) = <v,w> gelten.

Also betrachte $$F(v) ~:~ V \to K, ~w \mapsto F(v)(w) := \langle v,w\rangle$$

Zeige jetzt, dass für alle v die Abbildungen F(v) linear sind. Ansatz ist wie immer $\lambda \in K, w_1, w_2 \in V$, dann ist

$$F(v)(\lambda w_1 + w_2) = \dotsm = \lambda F(v)(w_1) + F(v)(w_2)$$

Dann musst du noch zeigen, dass die Abbildung $F: v \mapsto F(v)$ linear ist. Gleicher Ansatz wie oben: $\lambda \in K, v_1, v_2 \in V$, zu zeigen ist $$F(\lambda v_1 + v_2) = \lambda F(v_1) + F(v_2)$$ (auf beiden Seiten steht jetzt eine lineare Abbildung, 2 Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Element aus dem Definitionsbereich übereinstimmen), d.h. du musst zeigen, dass für alle $w\in V$ gilt:

$$F(\lambda v_1 + v_2)(w) = (\lambda F(v_1) + F(v_2))(w) = \lambda F(v_1)(w) + F(v_2)(w)$$

Beides folgt eigentlich wirklich unmittelbar aus den Eigenschaften einer Bilinearform!

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Vielen vielen Dank!