Stimmt die Aussage über die konvergenten Folgen?

Question

Es seien (an) und (bn) zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten
a = limn→∞ an und b = limn→∞ bn in R. Zeigen Sie die folgende Aussage.

Ist b ungleich 0 und bn ungleich 0 für alle n ∈ N, dann konvergiert auch die Folge (an/bn) und zwar gegen a/b

Answer 1

Ja, stimmt. siehe auch

http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS11/mafi2/Kapitel_3.pdf

Kapitel 3.2 die Aussage 3.

Answer 2

$$c= \frac{a}{b}$$

$$c+dc_n=c_n=\frac{a_n}{b_n}=\frac{a+da_n}{b+db_n}=\frac{a}{b}+\frac{da_n-\frac{a}{b}db_n}{b+db_n}$$

Mit \( \lim\limits_{n\to\infty}da_n→0 \)

und \( \lim\limits_{n\to\infty}db_n→0 \)

folgt\( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{da_n-\frac{a}{b}*db_n}{b+db_n}→0\)

und damit  \( \lim\limits_{n\to\infty}dc_n→0 \)

d.h. \( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}→\frac{a}{b}\)