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Aufgabe:

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen rationaler Zahlen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert an. Bestimmen Sie weiter bei den konvergenten Folgen zu jedem ε>0 \varepsilon>0 ein NεN N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} so, dass der Abstand der Folgeglieder zu dem entsprechendem Grenzwert ab dem Folgeglied Nε N_{\varepsilon} nicht gröber als ε \varepsilon ist.
(i) an=3n+74n1 a_{n}=\frac{3 n+7}{4 n-1} ,
(ii) bn=1n+(1)n b_{n}=\frac{1}{n}+(-1)^{n} ,
(iii) cn=1(1)nnn2+1 c_{n}=1-\frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}


Problem/Ansatz:

Also ich habe schon die Grenzwerte bestimmt fur

i) 3/4

ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1

iii) 0


Jetzt weiss ich aber nicht wie man das mit diesem ε>0 \varepsilon>0 zeigt und nachrechnet. Kann wer bitte erklaren?

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(i)3n+74n134<epsn>3116eps+14(ii)konvergiertnicht(iii) Grenzwert ist 1, nicht 0 1(1)nnn2+11<eps(1)nnn2+1<epsnn2+1<1n<epsn>1eps(i) \\ | \frac{3 n+7}{4 n-1} - \frac{3}{4} | < eps \\ n > \frac{31}{16eps} + \frac{1}{4} \\ (ii) \\ konvergiert \, nicht \\ (iii)\\ \text{ Grenzwert ist 1, nicht 0 }\\ | 1 - \frac{(-1)^n *n}{n^2+1} - 1| < eps \\ | - \frac{(-1)^n *n}{n^2+1} | < eps \\ | \frac{n}{n^2+1} | < \frac{1}{n} < eps \\ n > \frac{1}{eps}

Avatar von 3,4 k

Hey danke ich habe es verstanden aber warum konvengiert denn ii nicht kannst du es mir bittte erklaren?

Die Folge wechselt ständig zwischen -1 und +1, das widerspricht dem Kriterium der Konvergenz.

warum hast du bei iii) zwei mal 1 - (...) -1 < eps

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