Es seien (an) und (bn) zwei konvergente Folgen mit den Grenzwertena = limn→∞ an und b = limn→∞ bn in R. Zeigen Sie die folgende Aussage.
Ist b ungleich 0 und bn ungleich 0 für alle n ∈ N, dann konvergiert auch die Folge (an/bn) und zwar gegen a/b
Ja, stimmt. siehe auch
http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS11/mafi2/Kapitel_3.pdf
Kapitel 3.2 die Aussage 3.
c=abc= \frac{a}{b}c=ba
c+dcn=cn=anbn=a+danb+dbn=ab+dan−abdbnb+dbnc+dc_n=c_n=\frac{a_n}{b_n}=\frac{a+da_n}{b+db_n}=\frac{a}{b}+\frac{da_n-\frac{a}{b}db_n}{b+db_n}c+dcn=cn=bnan=b+dbna+dan=ba+b+dbndan−badbn
Mit limn→∞dan→0 \lim\limits_{n\to\infty}da_n→0 n→∞limdan→0
und limn→∞dbn→0 \lim\limits_{n\to\infty}db_n→0 n→∞limdbn→0
folgtlimn→∞dan−ab∗dbnb+dbn→0 \lim\limits_{n\to\infty} \frac{da_n-\frac{a}{b}*db_n}{b+db_n}→0n→∞limb+dbndan−ba∗dbn→0
und damit limn→∞dcn→0 \lim\limits_{n\to\infty}dc_n→0 n→∞limdcn→0
d.h. limn→∞anbn→ab \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}→\frac{a}{b}n→∞limbnan→ba
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