Wie berechnet man Komplexe Summen?

Question

Aufgabe:

$$ \sum\limits_{n=1}^{7} (1+i)^n $$

Problem/Ansatz:

Also ich stehe bei dieser Aufgabe auf dem Schlauch. Ich vermute stark, dass es eine Rechenregel für die aufaddierten Terme gibt, aber ich wüsste hier tatsächlich nicht wie ich das angehen sollte. Am ehesten würde ich es in eine Reihe umschreiben, da es wie eine geometrische Reihe aussieht und dann den grenzwert bilden und mit der Partialsummenregel arbeiten, aber wäre das überhaupt Zielführend?

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Nur so nebenbei, n läuft von 1 bis 7, doch bei (1+i)^k steht kein n. Also ist die Summe 7*(1+i)^k.

Oder aber irgendwas ist verkehrt.

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Ups das ist mein Fehler, da sollte Hoch n und nicht hoch k stehen, danke:)

Answer 1

Ich habe dir mal deine 7 Summanden einzeln aufgeschrieben.

Fasse die Summanden mit geradem k und mit ungeradem k getrennt zusammen.

k	Betrag	Argument
1	\( \sqrt{2} \)	45°
2	2	90°
3	2 \( \sqrt{2} \)	135°
4	4	180°
5	4 \( \sqrt{2} \)	225°
6	8	270°
7	8\( \sqrt{2} \)	315°

(oder nutze die Formel für eine Partialsumme einer geometrischen Reihe).

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Ahh okay, also du meinst ich soll das in Polarkoordinatenform umwandeln und damit dann arbeiten, anstatt die Binomischen Formeln einzeln auszurechnen?

Answer 2

\(\sum\limits_{n=1}^{7} (1+i)^n \)

Sicher geht es einfacher, doch es geht auch so.

$$(1+i)^1=1+i$$$$(1+i)^2=0+2i$$$$(1+i)^3=-2+2i$$$$(1+i)^4=-4+0i$$$$(1+i)^5=-4-4i$$$$(1+i)^6=0-8i$$$$(1+i)^7=8-8i$$\(\sum\limits_{n=1}^{7} (1+i)^n=-1-15i \)

Ich beginne zu zweifeln, dass es einfacher geht.

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Das habe ich schon befürchtet, bis Grad 4 kriege ich das auch hin. Aber Hoch 7 ist für mein Mathe Verständnis eine Herausforderung:)

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Ich beginne zu zweifeln, dass es einfacher geht.

Natürlich geht es einfacher:

(...nutze die Formel für eine Partialsumme einer geometrischen Reihe).

\(\sum\limits_{n=1}^{7} (1+i)^n \)=\((\sum\limits_{n=0}^{7} (1+i)^n ) -1=\frac{(1+i)^8-1}{(1+i)-1}-1\)

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Hallo abakus,

denkst du wirklich, dass das einfacher ist?

Gruß  Hogar

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Ich hätte auf Anhieb nicht gesehen, dass

$$(1+i)^8=16$$

Schon eher, dass

$$15/i=-15i$$

Doch wir kommen zumindest zum selben Ergebnis.

$$z=-1-15i$$