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Es sei \( D \subset \mathbb{R} \) und
\( f: D \longrightarrow[-1,1], \quad f(x)=\sin x \)
Geben Sie in Abhängigkeit vom Definitionsbereich \( D \) an, ob \( f \) injektiv bzw. surjektiv ist:
\begin{tabular}{c|l|l}
Definitionsbereich & injektiv & surjektiv \\
\hline\( D=\{0\} \) & & \\
\hline\( D=[-1,1] \) & & \\
\hline\( D=\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) & & \\
\hline\( D=\mathbb{R} \) & &
\end{tabular}

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Aloha :)

Die Funktion \(f(x)=\sin(x)\) soll mit der Definitionsmenge \(D\) und der Zielmenge \([-1;1]\) untersucht werden:

1) \(D=\{0\}\)

Die Funktion ist injektiv, denn jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

Die Funktion ist nicht surjektiv, weil z.B. der Wert \(1\) aus der Zielmenge nicht erreicht wird.

2) \(D=[-1;1]\)

Die Funktion ist injektiv, denn jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

Die Funktion ist nicht surjektiv, weil z.B. der Wert \(1\) aus der Zielmenge nicht erreicht wird.

3) \(D=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)

Die Funktion ist injektiv, denn jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

Die Funktion ist surjektiv, weil jedes Element aus der Zielmenge \([-1;1]\) mindestens 1-mal erreicht wird.

4) \(D=\mathbb R\)

Die Funktion ist nicht injektiv, denn das Element \(0\) aus der Zielmenge wird mehr als 1-mal erreicht, etwa für \(x=0\) und für \(x=\pi\).

Die Funktion ist surjektiv, weil jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

Avatar von 148 k 🚀

Erst mal vielen vielen Dank für diese wunderbar ausführliche Antwort!
Ich bin mit dem Thema noch nen bissl am stuggeln.
Kann ich mir die Zielmenge in etwa als Wertemenge vorstellen?

Ja, die Zielmenge ist nur ein anderes Wort für die Wertemenge.

Injektiv bedeutet, dass jedes(!) Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.

Surjektiv bedeutet, dass jedes(!) Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

Deswegen musst du immer die gesamte Zielmenge prüfen.

Ich glaub ich habs endlich kapiert!

Manche Professoren können einfach nicht gut erklären, da kannst du nur hoffen, dass du gute Tutoren hast ;)

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