Lösung linearer, inhomogener Differentialgleichungen

Question

Heyy ich hab noch ein paar Probleme bei der Berechnung der nachfolgenden Differentialgleichung:

y´=y+x*cos(2x)

Meiner Meinung nach müsste das eine inhomogene lineare GDL sein. Mit y´=a(x)*y+b(x) und dementsprechend a(x)=1 und b(x)=x*cos(x)

Die homogene Lösung müsste demnach yh=c*e^x sein.

Die Störfunktion ist b(x)=x*cos(x) und somit die Ansatzfunktion yp=(Bo+B1x)*cos(2x)

Bilde ich nun jedoch die Ableitung so erhalte ich

yp`=B1*cos(2x)-(Bo+B1x)*sin(2x)*2

Der hintere Term kann nun aber nicht mehr durch yp ausgetauscht werden da yp≠n*(Bo+B1x)*sin(2x)

Wie kann ich hier nun weiter vorgehen?

Comments

Hallo,

der richtige Ansatz ist:

$$(a+bx)\cos(2x)+(c+dx)\sin(2x)$$

Gruß

Answer 1

Hallo

dein Ansatz ist falsch

mit Axsin(2x)+Bxcos(2x) solltest du hinkommen, wenn man nicht den passenden Ansatz hat muss man eben Variation der Konstanten probieren, kennst du das, das führt immer zum Ziel,

Gruß lul

Comments

Dankeschön, ich hatte die oberere Zeile der Ansatzfunktion überlesen.

Ich hätte nun den folgenden Ansatz:

(Ao+A1)*sin(2x)+(Bo+B1x)*cos(2x)

Ist es falsch, dass ich noch ein Ao und Bo in der Funktion habe?

Schließlich würde ich demnach

yp`=2*(Ao+A1x)sin(2x)+(-2)*(Bo+B1)*sin(2x)+A1*sin(2x)+B1*cos(2x) erhalten

Und nun habe ich ein Problem mit der (-2) denn wenn ich dann

A1*sin(2x)+B1*cos(2x)-2yp schreibe, dann stimmen die Vorzeichen ja nicht überein.
Von der Variation von Konstanten habe ich bisher noch nichts gehört.