Taylorpolynome und Näherungen

Question

Gegeben ist die reelle Funktion

\(f : [-1/4, \infty) \longrightarrow \R \, , f(x)=\sqrt {4x+1}\).

Es soll das Taylorpolynom 2. Ordnung von \(f\) um \(x_0=0\) berechnet werden. Hier habe ich als Ergebnis \(T_2(x)=1+2x-2x^2\). Bis dorthin alles klar.

Nun soll das \(x^* \in [-1/4, \infty)\) angegeben werden, für das \(f(x^*)=\sqrt{2}\) gilt und schließlich eine Näherung für \(\sqrt{2}\) ermittelt werden, indem hierfür das Taylorpolynom 2. Ordnung berechnet wird.

Leider verstehe ich diesen Aufgabenteil nicht und wäre über Hilfe dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Zuerst bestimmen wir \(x^\ast\):

$$\left.\sqrt{4x^\ast+1}=\sqrt2\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.4x^\ast+1=2\quad\right|-1$$$$\left.4x^\ast=1\quad\right|:\,4$$$$\left.x^\ast=\frac{1}{4}\quad\right.$$

und setzen das dann in die Taylor-Entwicklung ein:

$$\sqrt2\approx T_2\left(\frac{1}{4}\right)=1+2\cdot\frac{1}{4}-2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{11}{8}=1,375$$

Answer 2

Nun soll das \(x^* \in [-1/4, \infty)\) angegeben werden, für das \(f(x^*)=\sqrt{2}\) gilt

Löse die Gleichung \(f\left(x^*\right) = \sqrt 2\).

und schließlich eine Näherung für \(\sqrt{2}\) ermittelt werden, indem hierfür das Taylorpolynom 2. Ordnung berechnet wird.

Berechne \(T_2\left(x^*\right)\).