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Ist w element der komplexen zahlen, so gibt es ein z element der komplexen zahlen mit cos z = w
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Ich führe wieder den Beweis durch Nachrechnen:

Gehe über die komplexe Definition des Cosinus:
 

Das ist nun eine quadratische Gleichung in y = eiz:

y2 - 2wy + 1 = 0

(y-w)2 + 1 - w2 = 0

y = w ±√(w2-1)

Es gilt also:
eiz = w±√(w2-1)

Falls der komplexe Logarithmus bereits bekannt ist, dann gilt im Hauptzweig:
z1/2 = -i*ln(w±√(w2-1))

 

Ansonsten:

Sei z von der Form z = x+iy. Außerdem nennen wir q = w±√(w2-1)

ex * eiy = |q| * eiφ

wobei φ dem Winkel in der Polardarstellung entspricht, also abschnittsweise definiert ist, als:

       (  arctan (Im(q)/Re(q))       , falls Re(q) > 0
φ = {  arctan (Re(q)/Im(q)) ± π, falls Re(q) < 0
       (  ±π/2                                   , falls Re(q) = 0

 

Durch vergleich erkennt man:
Re(z) = x = ln(|q|)
Im(z) = y = φ

Beachte, dass ln(|q|) nun der gewöhnliche Logarithmus einer reellen Zahl ist.

z = ln(|q|) + iφ

z = ln(|w±√(w2-1)|) + i*arg(w±√(w2-1))

Insbesondere ist w±√(w2-1) eine Zahl ungleich 0, also ist der reelle Logarithmus wohldefiniert.

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