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Aufgabe:

Sei f: ℝ3 → ℝ2, (x1 x2 x3)T ↦((x1-x2) (x1+x2))T

B = ( (1 0 0)T (1 1 0)T (1 1 1)T) und C = ((1 1)T (1 0)T

Zuerst musste man die Abbildungsmatrix von B nach C berechnen.

Das habe ich bereits getan und und mit der Lösung verglichen, also sollte sie richtig sein:

ABC =

112
0-1-2

Der zweite Teil der Aufgabe heißt jetzt:

Bestimme Basen B‘ und C‘ von ℝ3 bzw. ℝ4, so dass alle Einträge von AB‘C‘ gleich 0 oder 2 sind


Problem/Ansatz:

Ich könnte natürlich für jeden Eintrag einzeln schauen um diesen zu ändern, also rückverfolgen

Z.B. ist der erste Eintrag der Darstellungsmatrix  (1 0)T. Die 1 möchte ich allerdings nicht haben. Warum habe ich dort die 1? Zum einen, weil die erste spalte von C nur aus Einsen besteht und zum anderen weil ich in der ersten Spalte von B (1 0 0)T habe. Dann müsste ich schauen was ich wie ändern kann, so dass ich nur 0 und 2 Einträge habe. Das wird aber schnell unübersichtlich und dauert auch viel zu lang.

Deswegen wollte ich mal nachfragen ob es ein einfacheres Verfahren gibt, vielleicht eine Art Algorithmus

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1 Antwort

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Beste Antwort

Nimm doch für C die Standardbasis, dann sind die Spalten der

Abbildungsmatrix ja genau

die Bilder der Basisvektoren. Und

jetzt musst du die Basisvektoren von B halt so wählen,

dass deren Bilder nur 0en und 2en

enthalten . statt (1 , 0,0 ) T würde es mit (2,0,0)

schon mal klappen.

Und ( 1,1,0) T als zweiter würde auch passen.

Der dritte muss von denen linear unabhängig sein und

in der 3. Komponente ungleich 0 sein. Klappt

z.B. mit (2;0;1)T . rechne mal vorsichtshalber nach.

Avatar von 289 k 🚀

Mir fiel gerade auf, dass ich mich vertippt habe, die Abbildung lautet eigentlich (x1 x2 x3)T ↦ ((x1-x2) (x1+x3))T , also in der 2. Zeile bei der Addition muss x3 statt x2 stehen.

Mit deinem Vorgehen komme ich auf B‘ = ((2 0 0) (1 1 1) (2 2 0))T

Danke für deine Antwort :)

Allerdings hat meine Abbildungsmatrix dann zwei identische Spalten. Ist das irgendwie schlimm?

Ich erhalte dann nämlich

020
222

Kein Problem, Abbildung von R3 nach R2 kann ja eh

nicht injektiv sein.

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