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a) beschreiben Sie in möglichst einfacher Weise die Menge D aller z element der komplexen zahlen mit z ≠ 1

für die die reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))n konvergiert.

Zu a) gibt's eine Lösung bei: Wie beschreibe ich die Menge D aller z € C, z ≠ 1 für die Reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))n ?


b) Zeigen Sie dass die funktion f:D->C  mit f(z):= ∑∞n=0 (z/(1-z))stetig ist.

Gefragt von
Ich habe soeben Klammern um den vermuteten Nenner ergänzt. Ohne Klammern wäre z/1 -z einfach Null.
Benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

1 Antwort

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Ich benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

Da z≠1 mache ich folgende Umformung:

f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in C \ {1/2} 

Nach Aufgabe a) ist 1/2 nicht Element von D.

Also: f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in D.

 

Nachtrag: Falls nochmals umgeformt werden muss:

\frac { 1 }{ 1-\frac { z }{ 1-z }  } =\quad \frac { 1 }{ \frac { 1-z-z }{ 1-z }  } =\frac { 1-z }{ 1-2z } 

 

Beantwortet von 141 k
Da is aber schon am Anfang n Fehler drin, oder? Bi dir steht 1/(1-(z/(z-1))), aber es müsste doch 1/(1-(z/(1-z))) sein.
Danke! Habe korrigiert. Ändere meine Umformung noch ab, falls immer noch ein Verdreher drinn ist.

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