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a) beschreiben Sie in möglichst einfacher Weise die Menge D aller z element der komplexen zahlen mit z ≠ 1

für die die reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))n konvergiert.

Zu a) gibt's eine Lösung bei: Wie beschreibe ich die Menge D aller z € C, z ≠ 1 für die Reihe ∑∞n=0 (z/(1-z))n ?


b) Zeigen Sie dass die funktion f:D->C  mit f(z):= ∑∞n=0 (z/(1-z))stetig ist.

Gefragt von
Benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

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Ich benutze bei b), dass diese Summe für z in D als Grenzwert einer geometrischen Reihe den Wert

1/ (1 - (z/(1-z))    hat.

Da z≠1 mache ich folgende Umformung:

$$ \frac { 1 }{ 1-\frac { z }{ 1-z }  } =\quad \frac { 1 }{ \frac { 1-z-z }{ 1-z }  } =\frac { 1-z }{ 1-2z } $$

f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in C \ {1/2}

Nach Aufgabe a) ist 1/2 nicht Element von D.

Also: f(z) = (1- z)/(1-2z)  ist stetig in D.

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