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Aufgabe:

Labor 1 ändert die Temperatur gemäß der Funktion f(x)=6t·e0,5(2-t)

Labor 2 gemäß g(x)= 12·e0,5(2-t)

Jetzt soll ich bestimmten, wann sie die größte Temperaturdifferenz aufweisen.

Kann mir da jemand weiter helfen?

vor von

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Aloha :)

Ich würde hier einfach stur der Aufgebanestellung folgen. Es ist nach der größten Temperaturdifferenz gefragt, also bilden wir zuerst die Temperaturdifferenz:$$d(t)=f(t)-g(t)=6t\cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)}-12\cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)}=6e^{1-\frac{t}{2}}\cdot(t-2)$$Den Extremwert der Differenz \(d(t)\) finden wir dort, wo die Ableitung verschwindet:

$$0\stackrel!=d'(t)=\left(\underbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{(t-2)}_{=v}\right)'=\underbrace{\overbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(t-2)}_{=v}+\underbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}$$$$0=6e^{1-\frac{t}{2}}\left(-\frac{t-2}{2}+1\right)=6e^{1-\frac{t}{2}}\left(\frac{-t+2}{2}+\frac{2}{2}\right)=3e^{1-\frac{t}{2}}\left(4-t\right)$$Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, kann nur die Klammer null werden, also liegt die größte Differenz bei \(t=4\) vor. Insbesondere beträgt die maximale Temperaturdifferenz \(d(4)=\frac{12}{e}\).

vor von 62 k 🚀

Vielen Dank !

Könntest du mir vielleicht nochmal erklären, wie Du auf das Ergebnis der Temperaturdifferenz gekommen bist, also die Schritte dazwischen ?

Dass die Nullstelle der Ableitung bei \(t=4\) liegt, ist dir noch klar? Dann habe ich einfach \(t=4\) in die Differenz-Formel eingesetzt:

$$d(t)=6e^{1-\frac{t}{2}}\cdot(t-2)\quad\implies$$$$d(4)=6e^{1-\frac{4}{2}}\cdot(4-2)=6e^{1-2}\cdot2=12e^{-1}=\frac{12}{e}$$

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