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Aufgabe2:Sei \( a_{0}=0, a_{1}=5 \) und für \( n>0 \) sei \( a_{n+2}=3 a_{n+1}-2 a_{n}-4 \)Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für \( n \geq 0 \) gilt \( a_{n}=2^{n}+4 n-1 \).
Aufgabe:
vollständige Induktion
Problem/Ansatz:
Ich bräuchte die Lösung zu dieser Aufgabe wäre sehr nett danke!
Zu zeigen: an+1=2n+1+4(n+1)-1 oder an+1=2n+1+4n+3
Es gilt (1) an+1=3an-2an-1-4
und (2) an=2n+4n-1
sowie an-2=2n-1+4(n-1)-1 oder (3) an-2=2n-1+4n - 5
(2) und (3) in (1) eingesetzt:
an+1=3(2n-4n-1)-2(2n-1+4n-5)-4
an+1=3·2n+12n - 2n-8n+10 - 4 also
an+1=2n+1+4n+3 w,z,z,w.
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