Untervektorraum mit Dimension 2 bestimmen

Question

Aufgabe:

v1= (1,2,t+2)^T

v2= (-1,t+1,1)^T

v3= (0,t,1)^T

Problem/Ansatz:

Ich mzss den Wert für t bestimmten unter der Bedingung, dass die Dimension 2 ist. Wie kann ich das berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die $3$ Vektoren die Dimension $2$ haben sollen, dürfen sie kein $3$-dimensionales Volumen aufspannen. Das von den $3$ Vektoren aufgespannte Volumen ist gleich der von ihnen gebildeten Determinante. Mit anderen Worten, die Determinante aus den $3$ Vektoren muss verschwinden:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\2 & t+1 & t\\t+2 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & t+3 & t\\t+2 & t+3 & 1\end{array}\right|=(t+3)-t(t+3)=(1-t)(t+3)$$Es gibt also 2 Werte $t=1$ und $t=-3$, bei denen die 3 Vektoren kein Volumen aufspannen.

Aber wir dürfen aber noch nicht frohlocken, denn die Dimension soll ja gleich $2$ sein. Wir müssen also noch sicherstellen, dass die $3$ Vektoren nicht alle parallel oder antiparallel zueinander stehen. Das prüfen wir nach:

$$t=1\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$$$t=-3\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}0\\-3\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Wir haben also zwei Werte für $t$ gefunden, wo die Dimension des aufgespannten Raums gleich $2$ ist.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort