Trigonometrie Breite Fluss

Question

Aufgabe:

…

Von der Plattform eines 45 m hohen Turms, der 50 m vom Ufer eines Flusses entfernt steht, erscheint die Breite eines Flusses unter einem Winkel von 20,2°. Wie breit ist der Fluss?

Answer 1

        $\begin{aligned}\frac{50}{h} &= \tan(\beta)\\\frac{50+x}{h} &= \tan(\alpha + \beta)\end{aligned}$

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Kannst du mir denn nochmal den ausführlichen Rechnungsweg zeigen?

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Was ist denn x?

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Schau mal auf deine Zeichnung. Offenbar ist x die gesuchte Breite des Flusses.

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Ja, aber der Rechnung steht ja 50+x aber ich ja nicht weiß was x für eine Zahl ist kann ich das doch nicht berechnen, oder?

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Einsetzen von $h=45$ in die erste Gleichung und nach $\beta$ lösen:

        $\begin{aligned} \frac{50}{45} & =\tan\left(\beta\right) & & |\tan^{-1}\\ \tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right) & =\beta \end{aligned}$

Einsetzen von $\beta = \tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right), h=45, \alpha=22{,}5°$ in die zweite Gleichung und nach $x$ lösen:

        $\begin{aligned} \frac{50+x}{45} & =\tan\left(20,2{^\circ}+\tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right)\right) & & |\cdot45\\ 50+x & =45\cdot\tan\left(20,2{^\circ}+\tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right)\right) & & |-50\\ x & =45\cdot\tan\left(20,2{^\circ}+\tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right)\right)-50\\ \end{aligned}$

aber ich ja nicht weiß was x für eine Zahl ist kann ich das doch nicht berechnen, oder?

Du sollst Gleichungen lösen. In den interessanten Gleichungen kommen nun mal Variablen vor.

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Ahh ok alles klar und was ist dann das Ergebnis?

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Das Ergebnis ist

      $x =45\cdot\tan\left(20,2{^\circ}+\tan^{-1}\left(\frac{50}{45}\right)\right)-50$