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Aufgabe:

Gesucht ist die Gleichung der Tangente an die Kurve im gegebenen Punkt $$\vec{x}t(to)$$

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t) \\ 2\cdot \sin(t) \end{pmatrix}$$ \(t_0=\frac{3\cdot \pi}{4}\)


Problem/Ansatz:

Bräuchte hierbei bitte Hilfe.

Lg und Danke im Voraus!

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Aloha :)

Die Gleichung der Tangente im Punkt \(t_0\) lautet:$$\vec y_{t_0}(s)=\vec x(t_0)+s\cdot\frac{d\vec x(t_0)}{dt}$$

Hier ist \(\vec x(t)=\binom{3\cos t}{2\sin t}\) und \(t_0=\frac{3\pi}{4}\), sodass:

$$\vec x(t_0)=\binom{-\frac{3}{2}\sqrt2}{\sqrt2}\quad;\quad\frac{d\vec x}{dt}=\binom{-3\sin t}{2\cos t}\;\implies\;\frac{d\vec x(t_0)}{dt}=\binom{-\frac{3}{\sqrt2}}{-\sqrt2}$$Die Gleichung der Tangente lautet also:$$\vec y_{t_0}(s)=\binom{-\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt2}-s\binom{\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt2}$$Diese Geradengleichung können wir noch etwas "eleganter" schreiben:

$$\vec y_{t_0}(t)=\binom{0}{2\sqrt2}-t\binom{3}{2}$$

~plot~ 2sin(acos(x/3)) ; -2sin(acos(x/3)) ; 2sqrt(2)+2x/3 ; {-3/sqrt(2)|sqrt(2)} ; [[-5|4|-2,5|2,5]] ~plot~

von 67 k 🚀

Kann es sein dass ihnen ein Fehler unterlaufen ist bei der Tangentengleichung? Oder irre ich mich?

Ich habe nochmal alles nachgerechnet, aber keinen Fehler gefunden. Auch im Graphen sieht das Ergebnis richtig aus.

Wie kommst du denn darauf, dass da ein Bug drin ist?

Ich glaube ich hatte einen denk Fehler!

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Hallo, du kannst deine Kurve (stetig und differenzierbar)

\(\vec{x}: \ \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \ t\mapsto \begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t) \\ 2\cdot \sin(t )\end{pmatrix}=:\vec{x}(t)\)

linear an einer Stelle \(t_0\in \mathbb{R}\) approximieren:

\(\vec{T}(t)=\vec{x}(t_0)+\dot{\vec{x}}(t_0)\cdot \underbrace{(t-t_0)}_{=:\lambda}=:\vec{T}(\lambda,t_0)\).

Du hast dann also eine Geradenfunktion:

\(\vec{T}(\lambda,t_0)=\vec{x}(t_0)+\lambda\cdot \dot{\vec{x}}(t_0)=:\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).

Jetzt setzt du einfach deine konkrete Funktion von oben ein:

\(\vec{T}(\lambda,t_0)=\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t_0) \\ 2\cdot \sin(t_0 )\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} -3\cdot \sin(t_0) \\ 2\cdot \cos(t_0 )\end{pmatrix}\\\qquad \quad =\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t_0)+\lambda\cdot (-3)\cdot \sin(t_0) \\ 2\cdot \sin(t_0)+\lambda \cdot 2\cdot \cos(t_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)

Du kannst jetzt noch beide Komponenten nach \(\lambda\) auflösen, gleichsetzen und erhältst so eine kompaktere Formulierung deiner Tangentengleichung:

\(6=2\cdot \cos(t_0)\cdot x+3\cdot \sin(t_0)\cdot y\)

von 10 k

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