Konvergieren die Reihen?

Question

Aufgabe:

Konvergieren die Reihen

a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n^2+5n^5} \)

b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-10)^n}{4^{2n+1}*(n+1)} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin noch relativ neu dabei, wenn es darum geht, Reihen auf Konvergenz zu testen und habe deshalb nicht so das Gefühl dafür, welches Kriterium am geeignetsten wäre. Wie würdet ihr an solche Aufgaben rangehen und kann man am Muster der Reihe erkennen, welches Kriterium am sinnvollsten (einfachsten) ist?

Answer 1

1. Schätze ab

1/(3·n^2 + 5·n^5) < 1/(5·n^5)

2. Leibniz-Kriterium

(-10)^n/(4^(2·n + 1)·(n + 1))

Comments

Das erste verstehe ich. Beim zweiten meinst du folgendes: \((-1)^n* \frac{10^n}{4^(2n+1)*(n+1)}\) und da \( \frac{10^n}{4^{2n+1}*(n+1)} \) gegen 0 geht, ist die gesamte Reihe konvergent?

Answer 2

Hallo, bei a) kannst du die Summanden deiner Reihe gegen \(\frac{1}{n^2}\) abschätzen, da \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) gilt.

Bei b) empfilet sich das Wurzelkriterium zu verwenden, da du sehr viele exponentielle Terme hast. Quotientenkriterium kannst du aber auch mal versuchen.

Comments

Vielen Dank für die Tipps :)