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Eine Funktion 4. Grades verläuft symmetrisch zur y-Achse.

Der Wendepunkt ist W (2/0).

Sie geht durch den Punkt P ( 4/ 0,75).
Gesucht:  Die allgemeine Funktionsgleichung.

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Ansatz

f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

mit b = d = 0 wegen der Achsensymmetrie

f(x) = ax4 + cx2 + e

Bedingungen

f(2)=0
f''(2)=0
f(4)=0.75

Gleichungssystem

16·a + 4·c + e = 0
48·a + 2·c = 0
256·a + 16·c + e = 3/4

Errechnete Funktion

f(x) = -1/64·x4 + 0,375·x2 - 1,25

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Eine Funktion 4. Grades verläuft symmetrisch zur y-Achse. Der Wendepunkt ist W (20)(2|0).
Sie geht durch den Punkt P (40,75)( 4| 0,75).

 W1(20)W_1(2|0) →  W2(20)W_2(-2|0)

f(x)=a(x2)(x+2)(xN)(x+N)=a(x24)(x2N2)=a(x4N2x24x2+4N2)f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)

Wendepunkteigenschaft W (2...)(2|...)
f(x)=a(4x32N2x8x)f'(x)=a(4x^3-2N^2x-8x)

f(x)=a(12x22N28)f''(x)=a(12x^2-2N^2-8)

f(2)=a(482N28)=a(402N2)=0f''(2)=a(48-2N^2-8)=a(40-2N^2)=0

N2=20N^2=20:

f(x)=a(x424x2+80)f(x)=a(x^4-24x^2+80)

(40,75)( 4| 0,75):

f(4)=a(256384+80)=48a=34f(4)=a(256-384+80)=-48a=\frac{3}{4}

a=164a=-\frac{1}{64}:

f(x)=164(x424x2+80)f(x)=-\frac{1}{64}(x^4-24x^2+80)

Unbenannt.JPG

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