f(x)=ax^3+bx^2+cx+d mit ganzzahligen Koeffizienten hat die Nullstellen 0, -1/√5 und 1/√5.

Question

Hi

 

Aufgabe:Die Funtkion f mit fx=ax³+bx²+cx+d mit ganzzahligen Koeffizienten a,b,c und d hat die angegebene Nulstellen.Bestimme a,b,c und d

 

Nullstellen: 0; -1/Wurzel 5  (ganzer Term - NICHT -1) und 1/Wurzel 5

 

Arbeite schon seit 10 Minuten daran bekomme aber irgendwie keine Lösung könntet ihr mir bitte behiflich sein danke..

 

Gruß

Comments

Sind die Nullstellen
$$ x_1=0,x_2=-\frac{1}{\sqrt{5}},x_3=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

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Ja,genau das sind die Nullstellen

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hast Du wirklich nur folgende Informationen gegeben?

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f(0) = 0

f(-1/√5) = 0

f(1/√5) = 0

?

 

Dann kannst Du 3 Gleichungen aufstellen, hast aber 4 Unbekannte (a, b, c und d).

3 Gleichungen - 4 Unbekannte:

Damit ist die Aufgabenstellung meiner Meinung nach nicht eindeutig zu lösen.

 

Besten Gruß

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Am ende ist ja noch ein +0 d=0 ..Nur die anderen beiden Gleichungen kann ich nicht lösen

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a,b und c kann ich nicht lösen

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Die Ganzzahligkeit liefert eine 4 Gleichung.

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Auf d = 0 bin ich auch gekommen, wenn f(0) = 0 = a*0³ + b*0² + c*0 + d

Vielleicht könnte man überlegen, ob die Funktion achsensymmetrisch ist wegen f(-1/√5) = f(1/√5) = 0.

 

Hilft mir aber auch nicht weiter :-(

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Keine Ursache - tut mir Leid, dass ich nicht helfen konnte ...

Answer 1

Dann lässt sich dein Polynom als Produkt von Linearfaktoren darstellen.

$$f(x)=a \cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$

In  deinem Fall:

$$f(x)=a \cdot (x-0)(x-(-\frac{1}{\sqrt{5}}))(x-\frac{1}{\sqrt{5}})=a\cdot x \cdot(x^2-\frac{1}{5})\\=a\cdot x^3-a\cdot x \frac{1}{5} $$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+a*x*%28x-%28-1%2Fsqrt%285%29%29%29%28x-1%2Fsqrt%285%29%29

Da nur ganzzahlige Koeffizienten gefragt sind muss a ein ganzzahliges Vielfaches von 5 sein. Damit gibt es aber unendlich viele Polynome mit den oberen drei Nullstellen. Hast du eine Bedingung vergessen?

Comments

Ich würde das mal als a = 5n hinschreiben.

f_n(x) = 5nx^3 - 5nx/5 = 5nx^3 - nx.                n∈Z\{0}

Ein Beispiel für ein solches Polynom ist dann 

f(x) = 5x^3 - x

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Danke Lu.

@Anonym, bei einer ähnlichen Aufgabe Im Internet wurde einfach ein Vielfaches am Ende festgelegt um ein bestimmtes ganzzahliges Polynom zu erhalten. Dann ist die Aufgabe aber nicht eindeutig gestellt.