Polynomdivision/euklidischer Algorithmus geht nicht auf?

Question

Aufgabe:

Polynomdivision/euklidischer Algorithmus geht nicht auf?

Problem/Ansatz:

Hallo, habe die Polynome gegeben:

p = x⁴+x²+x, q = x³+2x²+5

Ges. ist der ggT.

Mein Ansatz:

x⁴+x²+x = (x³+2x²+5)*(x-2)   +    5x²-4x+10

x³+2x²+5 =  (5x²-4x+10)(1/5x+14/25)   +    6/25x-3/5

5x²-4x+10 = (6/25x-3/5)*(125/6x+425/12)   +    125/4

Aber irgendwann müsste doch Rest 0 rauskommen? Habe ich was falsch gerechnet?

Answer 1

5x2-4x+10 = (6/25x-3/5)*(125/6x+425/12)  +    125/4

6/25x-3/5 = 125/4 * 24/5 x  - 3/5 

125/4    =    - 3/5 * (-625/12)  + 0 

Answer 2

(x⁴ + x² + x) / (x³ + 2·x² + 5) = (x - 2) R (5·x² - 4·x + 10)
(x³ + 2·x² + 5) / (5·x² - 4·x + 10) = (0.2·x + 0.56) R (0.24·x - 0.6)
(5·x² - 4·x + 10) / (0.24·x - 0.6) = (125/6·x + 425/12) R 31.25

GGT ist 1