Zeigen Sie, dass dann auch ... eine Äquivalenzrelation ist

Question

Sei \( X \) eine nicht-leere Menge und sei \( U \subseteq X \times X \). Wir bezeichnen mit \( A(U) \) die Menge aller Äquivalenzrelationen auf \( X, \) welche \( U \) als Teilmenge enthalten. Zeigen Sie, dass dann auch
\( R:=\bigcap_{T \in A(U)} T \) eine Äquivalenzrelation auf \( X \) ist.

Kann mir hiermit jemand helfen bitte

Comments

Ich würde zum einen zeigen, dass \(A(U)\neq \varnothing\), und zum anderen, dass der Schnitt von Äquivalenzrelationen erneut eine Äquivalenzrelation ergibt (mithilfe der Definition, d.h. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität).

Um \(A(U)\neq \varnothing\) nachzuweisen, könntest du zu jeder Menge \(U\) eine entsprechende Äquivalenzrelation \(T\in A(U)\) konstruieren, für die \(U\subseteq T\) gilt.
Dazu könntest du die sog. Äquivalenzhülle von \(U\) bzgl. \(X\) aufgreifen.