E-Funktion + Textaufgabe lösen

Question

Aufgabe:

In einer Tasse Tee wird 90 Grad Celsius heißer eingeschenkt. Der Tee kühlt auf Zimmertemperatur von 20 Grad Celsius ab. Die Funktion h mit h(t) = a + be^{(-0,2)t beschreibt diesen Abkühlvorgang.}

Problem/Ansatz:

a)Bestimmen sie a und b

b) Die Temperatur nimmt höchstens um 14 Grad Celsius ab pro minute überprüfen sie diese Behauptung.

Answer 1

Wichtige Ergänzung der Aufgabe: t in Minuten, h(t) in °C.

a) Der Summand b·e^-0,2·t geht für t→∞ gegen 0,also muss a=20 sein. In den Ansatz h(t) = 20+ b·e^-0,2·t setze (0|90) ein. Dann ist b=70.

b)  h(t) = 20 + 70·e^-0,2·t hat die Ableitung h'(t)=-14·e^-0,2t und daher h'(0)=-14. Die Abkühlung ist zu Beginn des Abkühlungsvorganges am stärksten, also wird die Temperatur höchstens um 14 Grad Celsius pro Minute abnehmen.