Beweis dass H(t) Stammfunktion von h(t) ist

Question

Aufgabe:

Beweise dass die Funktion H(t) eine Stammfunktion von h(t) ist.

H(t) = -1/36*(18t+25)*e^(-0,72*t)

h(t) = 0,36*t*e^(-0,72*t)

Problem/Ansatz:

H'(t) = h(t)

rechnerisch:

H(t) = -1/36*(18t+25)*e^(-0,72*t) = (-1/2*t-25/36)*e^(-0,72*t)

H'(t) = -1/2*(-1/2*t-25/36)*-0,72*e^(-0,72*t) = -0,18*t*e^(-0,72*t)-0.25*e^(-0,72*t)

bei meiner Ableitung kommt aber nicht die erwünschte Lösung h(t) = 0,36*t*e^(-0,72*t) zum vorscheinen wie man oben erkennen kann, also muss ich einen Fehler bei der Ableitung haben, welchen ich aber nicht finden kann, weshalb ich hier um Hilfe bitte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$H'(t)=\left(\,\underbrace{-\frac{1}{36}(18t+25)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-0,72t}}_{=v}\,\right)'$$$$\phantom{H'(t)}=\underbrace{-\frac{1}{36}\cdot18}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-0,72t}}_{=v}+\underbrace{\left(-\frac{1}{36}(18t+25)\right)}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{-0,72t}}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-0,72)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$\phantom{H'(t)}=-\frac{1}{2}\cdot e^{-0,72t}+\frac{1}{50}\cdot(18t+25)\cdot e^{-0,72t}$$$$\phantom{H'(t)}=-\frac{1}{2}\cdot e^{-0,72t}+\frac{18}{50}t\,e^{-0,72t}+\frac{1}{2}\cdot e^{-0,72t}$$$$\phantom{H'(t)}=0,36\cdot t\cdot e^{-0,72t}$$$$\phantom{H'(t)}=h(t)\quad\checkmark$$

Answer 2

u(t)=18t+25  v(t)=e^-0,72t

u'(t)=18         v'(t)=-0,72·e^-0,72t.

Jetzt u'v+uv'.