Lineare Abbildung bestimmen und Matrix finden?

Question

Aufgabe:

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Hausaufgabe 5.1 Sei \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung mit \( \mathbf{f}_{1}=F\left(\mathbf{m}_{1}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{f}_{2}=F\left(\mathbf{m}_{2}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \) und \( \mathbf{f}_{3}=F\left(\mathbf{m}_{3}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)
mit \( \mathbf{m}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{m}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( \mathbf{m}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \),
(a) Stellen Sie \( \mathbf{e}_{1}=(1,0,0)^{T}, \mathbf{e}_{2}=(0,1,0)^{T} \) und \( \mathbf{e}_{3}=(0,0,1)^{T} \) als Linearkombination von \( \mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{2}, \) und \( \mathbf{m}_{3} \) dar.
(b) Bestimmen Sie \( F\left(\mathbf{e}_{1}\right), F\left(\mathbf{e}_{2}\right) \) und \( F\left(\mathbf{e}_{3}\right) \).
(c) Finden Sie eine Matrix \( A \) mit \( F(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \).
(d) Ist die Matrix \( A \) orthogonal?

Problem/Ansatz:

wie geht die b) und c) ? ich komme irgendwie nicht drauf im internet finde ich auch nichts dazu.. wär dankbar..

Comments

da F linear ist gilt

$$ F(\lambda_1 m_1 +\dotsm+\lambda_3 m_3) =\lambda_1F(m_1)+\dotsm+\lambda_3 F(m_3)$$

Wenn du die \( e_i\) also als Linearkombination der \( m_i \) dargestellt hast kannst du diese einfach einsetzen und dann mit den angegebenen Werten rechnen.

Allg. Geht die Abilldung von einem n-dimensionalen in einen m-dimensionalen Vektorraum, dann brauchst du eine m x n Matrix. Hier also eine 3 x 3 Matrix.

Mach also einfach mal den Ansatz:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$

Jetzt kannst du mit b) relativ leicht die Einträge bestimmen. Es soll ja

$$ F(e_i) = Ae_i $$ gelten.

Dass man im Internet aber nichts dazu findet ist Quatsch. Du weißt vermutlich nur nicht nach welchem Begriff du suchst: https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix in c) sollst du die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis berechnen.

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Wenn du die \( e_i\) also als Linearkombination der \( m_i \) dargestellt hast kannst du diese einfach einsetzen und dann mit den angegebenen Werten rechnen.

Ich verstehe das hier irgendwie nicht.. wie meinen Sie, dass mit den Werten einsetzen.. wie und wo setzt man die ein.. bin gerade voll verwirrt :/

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Du sucht z.B. Koeffizieten \( \lambda_i \) s.d.

$$e_1 = \lambda_1 m_1 +\dotsm+\lambda_3 m_3$$

Aufgabe a) und kannst dann damit wie oben gezeigt \( F(e_1) \) ausrechnen, indem du das \( e_1 \) durch die Linearkombination ersetzt (das geht da diese ja gleich sind) und dann wie oben den Ausdruck auseinanderziehst und dann die gegebenen Werte einsetzt.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier brauchst du einfach nur die Matrix bestehend aus den \(\vec m_i\) Spaltenvektoren zu invertieren$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1/3 & -2/3 & 2/3\\1/3 & 1/3 & -1/3\\-1/3 & 2/3 & 1/3\end{array}\right)$$und kannst dann die gesuchten Linearkombinationen ablesen:$$\vec e_1=\phantom{-}\frac{1}{3}\cdot\vec m_1+\frac{1}{3}\cdot\vec m_2-\frac{1}{3}\cdot\vec m_3$$$$\vec e_2=-\frac{2}{3}\cdot\vec m_1+\frac{1}{3}\cdot\vec m_2+\frac{2}{3}\cdot\vec m_3$$$$\vec e_3=\phantom{-}\frac{2}{3}\cdot\vec m_1-\frac{1}{3}\cdot\vec m_2+\frac{1}{3}\cdot\vec m_3$$

zu b) Da die Abbildung linear ist, erhalten wir mit a) die Bilder der Einheitsvektoren:$$F(\vec e_1)=\phantom{-}\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_1)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)-\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}2/3\\2/3\\1/3\end{pmatrix}$$$$F(\vec e_2)=-\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_1)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)+\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\4/3\end{pmatrix}$$$$F(\vec e_3)=\phantom{-}\frac{2}{3}\cdot F(\vec m_1)-\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_2)+\frac{1}{3}\cdot F(\vec m_3)=\begin{pmatrix}4/3\\1/3\\-1/3\end{pmatrix}$$

zu c) Die Matrix \(\mathbf A\) besteht aus den Bildern der Einheitsvektoren, also:$$\mathbf A=\left(\begin{array}{rrr}2/3 & -1/3 & 4/3\\2/3 & 2/3 & 1/3\\1/3 & 4/3 & -1/3\end{array}\right)$$

zu d) Wir prüfen, ob die Bilder der Einheitsvektoren ortohognal zueinander sind:$$\begin{pmatrix}2/3\\2/3\\1/3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\4/3\end{pmatrix}=-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\ne0$$Die Abbildungsmatrix \(A\) ist also nicht orthogonal.

Comments

SEEEHR GUT ERKLÄRT ENDLICH VERSTANDEN!!! VIELEN DANK *__*

Answer 2

F(e1) =  (mit Ergebnis von a)

        = F( 1/3m1 + 1/3m2  -1/3 m3 )

        =  1/3* F(m1) + 1/3*F(m2) - 1/3*(Fm3)

        = 1/3*(2;1;0)^T +1/3 * (1;2;2)^T - 1/3*(1;1;1)

        = (  2/3 ;   2/3  ;  1/3 )^T   etc.

Comments

= 1/3*(2;1;0)T +1/3 * (1;2;2)T - 1/3*(1;1;1)

Wie kommt man auf (2;1;0)T, (1;2;2)T und (1;1;1)?

Ich gucke und gucke die ganze zeit komme aber nicht darauf..

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@mathef kannst du bitte antworten ich bekomme die Kriese bin seit Stunden dran und komme nicht drauf.. bitte

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Das sind doch die gegebenen Werte f1 = F(m1) etc.

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Ok danke sorry bin blind xD