Analysis: Beweis dass ein Dreieck gleichschenklig ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=2e^{\( \frac{1}{2} \)x} -1

Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S(0|1) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Gleichung der Tangente bestimmt, welche schlussendlich t(x)=x+1 ist. Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Ache wäre (-1|0). Wie beweise ich mit diesen Informationen, dass das Dreieck gleichschenklig ist?

Answer 1

Dazu müsste die Steigung der Tangente 1 oder -1 sein. Kannst du das mittels erster Ableitung zeigen?

~plot~ 2exp(0.5x)-1;1+x ~plot~

Schau dir die Skizze an. ein Dreieck ist gleichschenklig wenn 2 Winkel gleich groß sind.

Comments

Also m= f'(0), wäre dann f'(0)= e^{\( \frac{1}{2} \)×0}= e⁰ = 1 ?

Müsste in der Skizze nicht der Schnittpunkt bei S(0|1) liegen und nicht bei S(0|2)? Wäre dies nämlich der Fall, würde man ja die Steigung m=1 sehen. Wenn ich mir jetzt T0 und 0S anschaue, dann wäre dies ja in beiden Fällen 1LE. Reicht dies als Begründung für die Frage?

---

Du hast recht. Meine Skizze hatte einen kleinen Fehler.

Da du bereits die Tangente mit der Steigung 1 berechnet hattest langt das als Beweis.

---

Trotzdem danke!

Dadurch habe ich es mir besser bildlich vorstellen können.

Answer 2

Dein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind. Dein Dreieck hat also als Eckpunkte die Punkte (0,0), (1,0),(-1,0). So jetzt schau dir alle drei Seiten an. Dann fällt dir auf die eine Seite als deine Strecke von (-1,0) bis (0,0) hat die Länge 1, aber die andere Seite also die Strecke von (0,1) bis (0,0) besitz auch die Länge 1. Damit sind die beiden Seiten gleich lang und dein Dreieck ist gleichschenklig