Hallo, ich hätte folgende Idee:
Auf jeden Fall spiel hier die Reihenfolge keine Rolle. Es ist also egal, ob Raphael zuerst n mal wirft und dann Anna n+1 mal wirft oder ob sie es durcheinander spielen.
Fakt ist aber, dass Raphael n mal wirft und Anna n+1 mal.
Du kannst dir das zunächst für die ersten n anschauen. Dabei betrachte ich nur die günstigen Ereignisse für Anna, die noch verknüpft werden müssen:
K=KopfZ=Zahl
n=1, also insgesamt 2⋅1+1=3 Würfe
Anna : {(K,K),(K,Z)}
Raphael : {(K),(Z)}
Zahl der Möglichkeiten:
(K,K)∧(K)(22)⋅(11)=1
(K,K)∧(Z)(22)⋅(01)=1
(K,Z)∧(Z)(12)⋅(01)=2
insgesamt: Z(1)=4
n=2, also insgesamt 2⋅2+1=5 Würfe
Anna : {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z)}
Raphael : {(K,K),(K,Z),(Z,Z)}
(K,K,K)∧(K,K)(33)⋅(22)=1
(K,K,K)∧(K,Z)(33)⋅(12)=2
(K,K,K)∧(Z,Z)(33)⋅(02)=1
(K,K,Z)∧(K,Z)(23)⋅(12)=6
(K,K,Z)∧(Z,Z)(23)⋅(02)=3
(K,Z,Z)∧(Z,Z)(13)⋅(02)=3
insgesamt: Z(2)=16
n=3, also insgesamt 2⋅3+1=7 Würfe
Anna : {(K,K,K,K),(K,K,K,Z),(K,K,Z,Z),(K,Z,Z,Z)}
Raphael : {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z),(Z,Z,Z)}
(K,K,K,K)∧(K,K,K)(44)⋅(33)=1
(K,K,K,K)∧(K,K,Z)(44)⋅(23)=3
(K,K,K,K)∧(K,Z,Z)(44)⋅(13)=3
(K,K,K,K)∧(Z,Z,Z)(44)⋅(03)=1
(K,K,K,Z)∧(K,K,Z)(34)⋅(23)=12
(K,K,K,Z)∧(K,Z,Z)(34)⋅(13)=12
(K,K,K,Z)∧(Z,Z,Z)(34)⋅(03)=4
(K,K,Z,Z)∧(K,Z,Z)(24)⋅(13)=18
(K,K,Z,Z)∧(Z,Z,Z)(24)⋅(03)=6
(K,Z,Z,Z)∧(Z,Z,Z)(14)⋅(03)=4
insgesamt: Z(3)=64
Beim Betrachten der Binomialkoeffizienten kommt man für die Anzahl an Möglichkeiten auf
Z(n)=i=1∑n+1(in+1)⋅(j=0∑i−1(jn))=4n was man per Induktion zeigen kann. (Warnung: Sehr langwierige Rechnung!)
Da nun insgesamt 2n+1=(n+1)+n Würfe stattfinden, hat man eine Wahrscheinlichkeit von
P(n)=Z(n)⋅(21)2n+1=4n⋅(21)2n+1=(22)n⋅(21)2n+1=22n⋅(21)2n+1=22n⋅22n+11=22n⋅22n121=21
Falls aber Fehler zur Zählweise aufgetreten sein sollten, bin ich auch für Korrekturen dankbar.