+1 Daumen
416 Aufrufe

Raphael und Anna werfen eine faire Münze. Anna wirft n+1 mal, Raphael n mal. Wenn Anna öfter Kopf wirft gewinnt sie, ansonsten gewinnt Raphael. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Anna?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo, ich hätte folgende Idee:

Auf jeden Fall spiel hier die Reihenfolge keine Rolle. Es ist also egal, ob Raphael zuerst nn mal wirft und dann Anna n+1n+1 mal wirft oder ob sie es durcheinander spielen.

Fakt ist aber, dass Raphael nn mal wirft und Anna n+1n+1 mal.

Du kannst dir das zunächst für die ersten nn anschauen. Dabei betrachte ich nur die günstigen Ereignisse für Anna, die noch verknüpft werden müssen:

K=KopfZ=ZahlK=\text{Kopf}\quad Z=\text{Zahl}


n=1n=1, also insgesamt 21+1=32\cdot 1+1=3 Würfe

Anna     : {(K,K),(K,Z)}\{(K,K),(K,Z)\}

Raphael : {(K),(Z)}\{(K),(Z)\}

Zahl der Möglichkeiten:

(K,K)(K)(22)(11)=1(K,K)\land (K)\quad {2\choose 2}\cdot {1\choose 1}=1

(K,K)(Z)(22)(10)=1(K,K)\land (Z)\quad {2\choose 2}\cdot {1\choose 0}=1


  (K,Z)(Z)(21)(10)=2(K,Z)\land (Z)\quad {2\choose 1}\cdot {1\choose 0}=2

insgesamt: Z(1)=4\underline{\underline{Z(1) = 4}}


n=2n=2, also insgesamt 22+1=52\cdot 2+1=5 Würfe

Anna     : {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z)}\{(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z)\}

Raphael : {(K,K),(K,Z),(Z,Z)}\{(K,K),(K,Z),(Z,Z)\}

(K,K,K)(K,K)(33)(22)=1(K,K,K)\land (K,K)\quad {3\choose 3}\cdot {2\choose 2}=1

(K,K,K)(K,Z)(33)(21)=2(K,K,K)\land (K,Z)\quad {3\choose 3}\cdot {2\choose 1}=2

(K,K,K)(Z,Z)(33)(20)=1(K,K,K)\land (Z,Z)\quad {3\choose 3}\cdot {2\choose 0}=1


  (K,K,Z)(K,Z)(32)(21)=6(K,K,Z)\land (K,Z)\quad {3\choose 2}\cdot {2\choose 1}=6

(K,K,Z)(Z,Z)(32)(20)=3(K,K,Z)\land (Z,Z)\quad {3\choose 2}\cdot {2\choose 0}=3


(K,Z,Z)(Z,Z)(31)(20)=3(K,Z,Z)\land (Z,Z)\quad {3\choose 1}\cdot {2\choose 0}=3

insgesamt: Z(2)=16\underline{\underline{Z(2) = 16}}


n=3n=3, also insgesamt 23+1=72\cdot 3+1=7 Würfe

Anna     : {(K,K,K,K),(K,K,K,Z),(K,K,Z,Z),(K,Z,Z,Z)}\{(K,K,K,K),(K,K,K,Z),(K,K,Z,Z),(K,Z,Z,Z)\}

Raphael : {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z),(Z,Z,Z)}\{(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z),(Z,Z,Z)\}

(K,K,K,K)(K,K,K)(44)(33)=1(K,K,K,K)\land (K,K,K)\quad {4\choose 4}\cdot {3\choose 3}=1

(K,K,K,K)(K,K,Z)(44)(32)=3(K,K,K,K)\land (K,K,Z)\quad {4\choose 4}\cdot {3\choose 2}=3

(K,K,K,K)(K,Z,Z)(44)(31)=3(K,K,K,K)\land (K,Z,Z)\quad {4\choose 4}\cdot {3\choose 1}=3

(K,K,K,K)(Z,Z,Z)(44)(30)=1(K,K,K,K)\land (Z,Z,Z)\quad {4\choose 4}\cdot {3\choose 0}=1


(K,K,K,Z)(K,K,Z)(43)(32)=12(K,K,K,Z)\land (K,K,Z)\quad {4\choose 3}\cdot {3\choose 2}=12

(K,K,K,Z)(K,Z,Z)(43)(31)=12(K,K,K,Z)\land (K,Z,Z)\quad {4\choose 3}\cdot {3\choose 1}=12

(K,K,K,Z)(Z,Z,Z)(43)(30)=4(K,K,K,Z)\land (Z,Z,Z)\quad {4\choose 3}\cdot {3\choose 0}=4


(K,K,Z,Z)(K,Z,Z)(42)(31)=18(K,K,Z,Z)\land (K,Z,Z)\quad {4\choose 2}\cdot {3\choose 1}=18

(K,K,Z,Z)(Z,Z,Z)(42)(30)=6(K,K,Z,Z)\land (Z,Z,Z)\quad {4\choose 2}\cdot {3\choose 0}=6


(K,Z,Z,Z)(Z,Z,Z)(41)(30)=4(K,Z,Z,Z)\land (Z,Z,Z)\quad {4\choose 1}\cdot {3\choose 0}=4


  insgesamt: Z(3)=64\underline{\underline{Z(3) = 64}}


Beim Betrachten der Binomialkoeffizienten kommt man für die Anzahl an Möglichkeiten auf

Z(n)=i=1n+1(n+1i)(j=0i1(nj))=4nZ(n)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}{n+1\choose i}\cdot \left(\sum\limits_{j=0}^{i-1} {n\choose j}\right)=4^n was man per Induktion zeigen kann. (Warnung: Sehr langwierige Rechnung!)


Da nun insgesamt 2n+1=(n+1)+n2n+1=(n+1)+n Würfe stattfinden, hat man eine Wahrscheinlichkeit von

P(n)=Z(n)(12)2n+1=4n(12)2n+1=(22)n(12)2n+1=22n(12)2n+1=22n122n+1=22n122n12=12P(n)=Z(n)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}=4^n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}=(2^2)^n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}=2^{2n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}\\=2^{2n}\cdot \frac{1}{2^{2n+1}}=2^{2n}\cdot \frac{1}{2^{2n}}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Falls aber Fehler zur Zählweise aufgetreten sein sollten, bin ich auch für Korrekturen dankbar.

Avatar von 15 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage