Die Höhe einer Seite eines Parallelogramms berechnen

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die auf der Seite [AB] stehende Höhe das Parallelogramms

Problem/Ansatz: Geg.: Wir haben ein Parallelogramm mit den Punkten A(2/-3/1), B(0/-2,4), C(1/1/6) und D(3,0,3).
- die Fläche des Parallelogramms ist A= 12,12(FE)
- der Flächeninhalt des Dreiecks BCD ist A= 6,06(FE)
- Ich habe schon die Vektoren AB, BC, CD, DA richtig ausgerechnet,

Was muss ich rechnen?

Answer 1

Länge von AB mal zugehörige Höhe h gibt den Flächeninhalt !

Comments

Wenn die ich Aufgabe richtig verstehe, dann hast du meine Frage nicht beantwortet. Die Fläche des Parallelogramms habe ich schon ausgerechnet.

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Und diesen Flächeninhalt kannst du zusammen mit der Länge der Strecke AB verwenden, um die Höhe zu bestimmen.

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Also rechne ich 12,12(FE)* Strecke AB

=12,12(FE)* $\sqrt{(-2)^2+1^2+3^3}$ (LE)

= 12,12(FE) * $\sqrt{14}$ (LE)

=45,35

Das wäre dann meine Höhe des Parallelogramms auf der Seite[AB] ?

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Ach so, jetzt habe ich es glaube ich verstanden.

Darf ich so rechnen?

Ap = VektorAB(LE) *h(LE)

12,12(FE) = $\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$(LE) * h(LE)

12,12(FE) = $\sqrt{14}$(LE) * h(LE)

12,12(FE) = 3,74(LE) *h(LE)

h = 3,24(LE)

Bin mir nicht sicher ob ich das "12,12(FE) = $\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$ * h" so aufschreiben darf, weil ich ja eigentlich nur mit der Länge des Vektors rechne.

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Für den Flächeninhalt $F$ eines Parallelograms mit Grundseite $a$ und daraf stehender Höhe $h_a$ gilt

        $F = a\cdot h_a$.

Setze die bekannten Werte ein.

Ap = VektorAB *h

Nein. Du darfst

        Ap = Länge des VektorAB * h

schreiben

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Habe eingesetzt, pass es so?

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12,12(FE) = $\sqrt{14}$ * h

Passt so. Das "(FE)" sollte aber da weg.

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Ist es falsch zu schreiben dass, dass (LE) * (LE) = (FE) ist?

Und wenn ich schreibe (Vektor)AB(LE), ist dann damit automatisch das gleiche gemeint wie mit: Länge vom Vektor AB?

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(LE) * (LE) = (FE)

Ist richtig.

12,12(FE) = $\sqrt{14}$ * h

Wenn du die Gleichung löst, dann bekommst du

        $h = \frac{12,12}{\sqrt{14}} \text{(FE)}$.

Aber $h$ ist doch eine Längenangabe. Dann lieber

    12,12(FE) = $\sqrt{14}$(LE) * h.

Besser noch, wir verzichten vollständig auf die Angabe von Einheiten; schließlich sind in der Aufgabenstellung auch keine Einheiten genannt.

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Und wenn ich schreibe (Vektor)AB(LE), ist dann damit automatisch das gleiche gemeint wie mit: Länge vom Vektor AB?

Nein.

Der Vektor von $A$ nach $B$ hat die Länge $\left|\vec{AB}\right|$.

Der Vektor $\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$ hat die Länge $\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}\right|$.

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Stimmt, ich habe vergessen, dass die Länge des Vektors auch die normale Schreibweise ist.

Aber bei der Gleichung 12,12(FE) = $\sqrt{14}$ * h kommt h in (LE) raus, wenn ich nicht die anderen LE Angaben vergessen hätten, wenn ich das richtig verstehe.

Das wäre dann FE= LE*LE => LE=LE

Answer 2

Der Punkt $P$ auf der Geraden $CD$ kann dargestellt werden als

        $\vec{OP} = \vec{OC} + r\cdot \vec{CD}$

Gesucht ist ein Wert für $r$, so dass die Strecke $AP$ senkrecht zu $AB$ ist.

Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt von $AP$ und $AB$ Null ist. Löse also die Gleichung:

        $\left(\vec{OC} + r\cdot \vec{CD} - \vec{OA}\right) \cdot \vec{AB} = 0$.

Answer 3

Wir haben ein Parallelogramm mit den Punkten A(2/-3/1), B(0/-2,4), C(1/1/6) und D(3,0,3).

- Ich habe schon die Vektoren AB, BC, CD, DA richtig ausgerechnet,

AB = [-2, 1, 3]

AD = [1, 3, 2]

- die Fläche des Parallelogramms ist A= 12,12(FE)

Das einfachste wäre hier Betrag des Kreuzproduktes von AB x AD

|AB x AD| = |[-7, 7, -7]| = √147 = 12.12 FE

- der Flächeninhalt des Dreiecks BCD ist A= 6,06(FE)

Die Diagonalen eines Dreiecks halbieren die Fläche des Paralellograms. Daher brauchst man nur die Fläche halbieren.

1/2·√147 = 6.062 FE