Basis und Exponent sind quadratische Gleichungen

Question

Hallo ihr lieben Helfer,

Ich soll alle Lösungen der Gleichung

$(x^2-7x+11)^{x^2-13x+42}=1$

angeben. Wie löst man so was nach x auf, geht das nur numerisch?

Danke für jede Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wir unterscheiden drei Fälle zur Lösung der Gleichung$$(x^2-7x+11)^{x^2-13x+42}=1$$

1. Fall: $1^a=1$$$x^2-7x+11=1\implies x^2-7x+10=0\implies(x-2)(x-5)=0\implies$$$$x=2\quad;\quad x=5$$

2. Fall: $a^0=1\text{ mit }a\ne0$$$x^2-13x+42=0\implies(x-6)(x-7)=0\implies$$$$x=6\quad;\quad x=7$$Wir müssen noch prüfen, ob für diese Lösungen $(x^2-7x+11)\ne0$ ist, weil $0^0$ nicht definiert ist.$$(6^2-7\cdot6+11)=5\ne0\quad\checkmark\quad;\quad(7^2-7\cdot7+11)=11\ne0\quad\checkmark$$

3. Fall: $(-1)^{2n}=1\text{ mit }n\in\mathbb Z:$

$$x^2-7x+11=-1\implies x^2-7x+12=0\implies (x-4)(x-3)=0\implies$$$$x=3\quad;\quad x=4$$Wir prüfen noch, ob das Exponential-Polynom für $x=3$ und $x=4$ eine gerade Zahl ist:$$(3^2-13\cdot3+42)=12\quad\checkmark\quad;\quad(4^2-13\cdot4+42)=6\quad\checkmark$$

Zusammengefasst haben wir also sechs Lösungen gefunden:$$\mathbb L=\{2,3,4,5,6,7\}$$

Comments

Respekt!                                .

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Respekt!  

und das, obwohl die Lösung das Paradebeispiel einer abschreibfertigen Komplettlösung ist

Answer 2

x² - 7·x + 11 = 1 --> x = 2 ∨ x = 5

x² - 13·x + 42 = 0 --> x = 6 ∨ x = 7

Comments

Die Aufgabe ist besser als deine Antwort vermuten lässt.

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Stimmt. Ich habe den Sonderfall von -1 als Basis und einem geraden Exponenten nicht berücksichtigt.

Answer 3

Entweder ist der Exponent 0 oder die Basis 1.

x²-13x+42=0

(x-6)(x-7)=0

x=6 v x= 7

x²-7x+11=1

x²-7x+10=0

(x-2)(x-5)=0

x=2 v x=5