Skizzieren von Lösungen in der komplexen Zahlenmenge

Question

Aufgabe:

Lösungen in der komplexen Zahlenmenge skizzieren

1.) 2|z| = z*z + 1

2) Im(z +1) Re(z -1)

3) |(z+1)/(z-1)| < 1

Problem/Ansatz:

1) r² - 2r + 1 = 0

r1/2 =  1+- √(-1)2 -1

    = 1 +- 0

=> r1 = 1 und r2 = 1

*) fettgedruckt -> Konjugation

Comments

Hallo,

bei a erhältst Du $r=|z|=1$ als Lösung. Was bedeutet $r=1$ geometrisch?

Bei b steht keine Gleichung.

Bei c würde ich quadrieren (warum ist das hier eine Äquivalenzumformung?), dann ansetzen $z=x+iy$ und ausrechnen. Am Ende kannst Du Dich dann fragen, ob das Ergebnis nicht auch direkt aus geometrischen Überlegungen folgt - oder Du fängst damit an.

Gruß

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3 krieg ich nicht raus... Das quadrieren hilft mir auch nicht weiter :/

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Könnt ihr mir bitte helfen?

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sry b) lautet eig. Im(z+ 1) ≤ Re(z -1)

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Könnt ihr mir bitte helfen?

Also mal kleinschrittig:

- Wenn z=x+iy, also x=Re(z) und y=Im(z), wie ist dann |z| definiert?

- Wenn z=x+iy, was ist dann der Realteil von z+1, was ist der Imaginärteil von z+1?

- Wenn das geklärt ist, was ist dann |z+1| und dementsprechend |z+1|²?

- Mache das Gleiche  für |z-1|

. Forme um: $\frac{|z+1|}{|z-1|}<1 \iff |z+1|^2<|z-1|^2$

Answer 1

Hallo,

zu 1.)  $2|z| = z \cdot \overline z + 1$

Substitution$$z=x+yi \implies |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad z \cdot \overline z = (x+yi)(x-yi)= x^2+y^2 = |z|^2$$Einsetzen in den Term aus 1) gibt dann$$\begin{aligned}2|z| &= |z|^2 + 1 \\ 0 &= |z|^2 - 2|z| + 1 \\ &= (|z|-1)^2 \\ \implies |z| &= 1\end{aligned}$$.. und das ist der Einheitskreis in der Gauß'schen Zahlenebene.

zu 2.) $\text{Im}(z+ 1) \le \text{Re}(z -1)$

- Wenn z=x+iy, also x=Re(z) und y=Im(z), wie ist dann |z| definiert?

(s.o..) $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Setze einen Punkt in die Gauß'sche Zahleneben und bestimme mit Pythagoras die Entfernung zum Ursprung.

- Wenn z=x+iy, was ist dann der Realteil von z+1, was ist der Imaginärteil von z+1?

$$\text{Re}(z +1) = \text{Re}(x+yi +1) = \text{Re}((x+1)+yi) = x+1 \\ \text{Im}(z+ 1) = \text{Im}(x+yi+ 1) = \text{Im}((x+1)+yi) = y$$

- Wenn das geklärt ist, was ist dann |z+1| und dementsprechend |z+1|²?

$$|z+1| = |(x+1) + yi| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} \\ \implies |z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2$$ zur Aufgabe:$$\begin{aligned}\text{Im}(z+ 1) &\le \text{Re}(z -1) &&|\, z = x+ yi \\ y &\le x-1 \end{aligned}$$

Die Lösungsmenge ist die Halbebene unterhalb der Geraden $y=x-1$. Und die Gerade selbst ist Teil der Lösung.

zu 3.) $\frac{|z+1|}{|z-1|}<1$ da kann man schreiben$$\left|\frac{z+1}{z-1}\right| = \frac{|z+1|}{|z-1|} \lt 1 \quad \mathbb D = \{z \in \mathbb C \backslash 1\} \\ \implies |z+1| \lt |z-1|$$Bevor ich das ausrechne schaue Dir mal folgendes Bild an.

Ich habe zwei Beispiele für einen Punkt $z$ (grün) in die Gauß'sche Zahlenebene gezeichnet. Sowie die Punkte $z+1$ und $z-1$. Die Absolutfunktion $|z \pm 1|$ liefert als Ergebnis immer die Länge der blau und rot markierten Strecken vom Ursprung $0$ zum jeweiligen Punkt in der Zahlenebene.

Wenn sich $z$ links von $0$ befindet ist der rote Pfeil immer kleiner als der blaue Pfeil. Liegt $z$ rechts von $0$, ist es umgekehrt. Obige Ungleichung ist erfüllt, wenn $|z+1|\lt|z-1|$ also wenn rot kürzer als blau ist. Daraus folgt, dass die Lösungsmenge alle Punkte $z$ sind, die links der imaginären Achse liegen; bzw. $$\mathbb L = \{z \in \mathbb C|\, \text{Re}(z) \lt 0\}$$

$$\begin{aligned} \left| \frac{z+1}{z-1} \right| &\lt 1 \\ |z+1| &\lt |z-1| \\ \sqrt{(x+1)^2 + y^2} &\lt \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \\(x+1)^2 + y^2 &\lt (x-1)^2 + y^2 &&|\, - y^2\\ x^2 +2x + 1 &\lt x^2 - 2x + 1 &&|\, -(x^2 + 1) \\ 2x &< -2x &&|\, + 2x\\ 4x &\lt 0 &&|\, \div 4\\ x &\lt 0 \\ \implies \text{Re}(z) &\lt 0\end{aligned}$$

Gruß Werner

Comments

Hab mich leider vertan bei der Aufgabe c)

Es sollte $\frac{|z+1|}{|z-i|}<1$ heißen.

Tut mir leid.

Wie wärst du denn bei dieser Aufgabe vorgegangen?

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Wie wärst du denn bei dieser Aufgabe vorgegangen?

ganz genau so! Zeichne einfach ein paar Punkte $z$ in die Gaußsche Zahlenebene, sowie die Punkte $z+1$ und $z-i$

Der Ausdruck $$\frac{|z+1|}{|z-i|} \lt 1$$ist genau erfüllt, wenn$$|z+1| \lt |z-i| \quad z \ne i$$ist, also wenn der rote Pfeil $z+1$ kürzer ist als der blaue Pfeil $z-i$. Beide Pfeile wären gleich lang, wenn sich der Ursprung auf der Mittelsenkrechten der Strecke $$z-i \leftrightarrow z+1$$befindet. Liegt der Ursprung oberhalb dieser Mittelsenkrechten, so ist der rote Pfeil kürzer, und die Bedingung ist erfüllt.

Die Lösung ist also, dass $z$ unterhalb der rot gestrichelten Linie liegen muss, d.h. der Geraden $y=-x$: $$\mathbb L =\{z \in \mathbb C,\space \,x,y \in \mathbb R | z=x+yi \, \land y\lt -x\}$$oder auch$$\mathbb L = \{z \in \mathbb C|\, \text{Im}(z) \lt -\text{Re}(z)\}$$

wenn Du das rechnen willst, so geht das so:$$\begin{aligned}|z+1| &\lt |z-i| &&|\,z \ne i \\ |z+1|^2 &\lt |z-i|^2 &&|\, z=x+yi\\ |(x+1)+yi|^2 &\lt |x+(y-1)i|^2 \\ (x+1)^2 + y^2 &\lt x^2 + (y-1)^2 \\ x^2+2x+1 + y^2 &\lt x^2 + y^2-2y+1 &&|\,-(x^2+y^2+1)\\ 2x &\lt -2y &&|\,\div (-2)\\ -x &\gt y\\ \end{aligned}$$Gruß Werner