Man zeige, dass die Zahl 97 nicht zu M gehört.

Question

Sei M = {n ∈ ℤ| ∃x, y ∈ ℤ mit n = x² - 23y^2}.

Man zeige, dass die Zahl 97 nicht zu M gehört. (Tipp: Quadratisches Reziprozitätsgesetz)

Answer 1

Wenn es solche ganzen Zahlen $x, y$ mit

$$97 = x^2 - 23 y^2$$

gäbe, dann wäre

$$5 \equiv 97 = x^2-23y^2 \equiv x^2 \mod (23)$$

insbesondere müsste 5 ein quadratischer Rest modulo 23 sein. Berechne das Legendre-Symbol

$$\left(\frac{5}{23}\right)$$

(mithilfe des QRG), wenn da $-1$ rauskommt erhältst du einen Widerspruch und somit kann es keine ganzzahligen Lösung der Gleichung geben.

$$\begin{aligned} \left(\frac{5}{23}\right) &= (-1)^{\frac{5-1}{2}\frac{23-1}{2}} \left(\frac{23}{5}\right) \\&= \left(\frac{23}{5}\right) \\&= \left(\frac{-2}{5}\right) \\&=\left(\frac{-1}{5}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \\&= (-1)^{\frac{5-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{5^2-1}{8}} \\&= -1 \end{aligned}$$

Answer 2

Angenommen es gäbe x,y mit 97 = x² - 23y²

==>    97 ≡ x²  mod 23

==>  97 ist quadratischer Rest mod 23

Wegen 97≡5 mod 23

wäre auch 5 quadratischer Rest mod 23.

Ist es aber nicht.