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Aufgabe:

Hallo Freunde des Wissens,

Denke das meiste von den Aufgaben gelöst zu haben aber würde mich freuen wenn jemand nochmal drüberschaut und mir bei 2punkten hilft.

Gegeben seien ein Vektorfeld A = x vec(ex) y vec(ey), und ein Körper, der von den Flächen z=24(x^2+y^2)+1 und z=48x+1 begrenzt wird.

a) Finden Sie die Schnittlinie der beiden Flächen und führen Sie geeignete Koordinaten ein.

b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers, indem Sie den Fluss durch jede der beiden Teilflächen des Körpers einzeln ausrechnen.

c) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers mit Hilfe eines geeigneten Volumenintegrals.

Zu a)
Also ich habe versucht die Gleich zu setzen und dann für y was einzusetzen

24(x^2+y^2)=48x
x^2+y^2=2x
y=sqrt(-x^2+2x)

In 1. Formel einsetzen

24x^2+24(-x^2+2x)+1=48x+1

Ja super
Bin mir sicher etwas nicht richtig gemacht zu haben hier wäre eine Erklärung bzw eine Lösung hilfreich.


Zu b)

Z=24x^2+24^2+1

((x),(y),(24x^2+24y^2+1))

((r*cos(t)),(r*sin(t)),(24*r+1))



Die Integrationsgrenzen sind ja wahrscheinlich die Funktion der Schnittgeraden und 2*pi oder?

Nach r und t ableiten um normalen vektor zu erhalten

vec(n) = ((-24*r*cos(t)),(-24*r*sin(t)),(-r))

Oder muss ich hier schon den anderen normalenvektor nehmen?

Vektorfeld skalar normalen vektor

= -24r^2

Integrieren nach r dann nach t

-(24r^3)/3*t+c

Jetzt die Frage der Grenzen ...


Z=48x+1

((x),(y),(48x+1))

((r*cos(t)),(r*sin(t)),(48r*cos(t)+1))

Genau wie davor
vec(n) = ((-96r),(0),(r))

Skalar multipliziert und integriert

1/3*r^3*sin(t)+c

Nun wieder die Frage nach den Grenzen


Und für c)  den integralsatz von Gauß?

von
In 1. Formel einsetzen

Das ist der Fehler! Du setzt was ein, was Du aus dieser Gleichung heraus gezogen hast. Das führt zu einer Gleichung wie \(0=0\).

Die Gleichung \(x^2+y^2=2x\) beschreibt einen Kreis auf der XY-Ebene mit Radius 1 und Mittelpunkt bei \((1|\,0)\). Das ist aber nur die Projektion der Schnittlinie auf die XY-Ebene.

Wenn Du \(x\) und \(y\) substituierst$$x = 1 + \cos(t) \\ y = \sin(t)$$erfüllt das die Kreisgleichung. Dann ist$$z = 48x + 1 = 49  +48 \cdot \cos(t)$$und damit ist die Parametergleichung der Schnittlinie$$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 49 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \cos(t)\\ \sin(t)\\ 48\cos(t) \end{pmatrix}$$

Hallo danke für deine Antwort.

Die Parametrisierung nutze ich dann bei c)?

Und die integralgrenzen sind r Element [0;1]

t Element [0;2pi]?

Die Parametrisierung nutze ich dann bei c)?

kann ich leider so ad hoc nicht beantworten. Parametrisiert ist ja so nur die Schnittlinie und nicht das Volumen.

Auch bei b) wird ja nicht über die Schnittlinie integriert, sondern über die beiden Flächen.

Also bei b so wie ich es gemacht hatte?

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